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PROBLÈMES CORRIGÉS Il n’est pas de problème qu’une absence de solution ne finis

PROBLÈMES CORRIGÉS Il n’est pas de problème qu’une absence de solution ne finisse par résoudre. Aphorisme attribué à Henri QUEUILLE PROBLÈME N° 1 : Coefficient d’échange Énoncé Le transfert de chaleur entre deux fluides s’effectue à travers un tube d’acier de diamètres intérieur/extérieur 18 / 21 mm. On donne : - côté intérieur : K m / W 1000 h 2 1 = ; température moyenne de mélange C 10 T1 ° = - côté extérieur : K m / W 2000 h 2 2 = ; température C 25 T2 ° = - acier : K . m / W 46 = λ 1. Calculer le coefficient global d’échange k. 2. Après un an de fonctionnement, on estime avoir une résistance d’encrassement K m W 10 . 4 R 2 1 4 e − − = . Déterminer le nouveau coefficient d’échange global. 3. En attribuant une efficacité de 1 au tube neuf, que devient cette efficacité au bout d’un an ? 4. Quel est alors le flux échangé dans un tube de longueur L = 1 m ? Solution 1. La paroi du tube a pour épaisseur : m 10 . 5 , 1 mm 5 , 1 2 18 21 2 d D e 3 − = = − = − = Comme elle est mince par rapport aux diamètres, en négligeant sa courbure on peut calculer k à partir de la formule (6.2a) relative à une paroi plane, avec 0 Re = : 2000 1 46 10 . 5 , 1 1000 1 h 1 e h 1 k 1 3 2 1 + + = + + = − λ 3 3 3 3 10 . 53 , 1 10 . 5 , 0 10 . 03 , 0 10 k 1 − − − − = + + = On constate que la résistance thermique λ / e de la paroi ne représente ici que 2% de la résistance totale. Enfin : K m / W 653 k 2 = 2. En présence d’une résistance d’encrassement, on applique maintenant la formule (6.2a) complète : 3 3 2 e 1 10 . 93 , 1 10 ) 5 , 0 03 , 0 4 , 0 1 ( h 1 e R h 1 k 1 − − = + + + = + + + = λ K m / W 518 k 2 = 3. L’efficacité dont il est question dans l’énoncé doit être comprise comme un rapport max réel / Φ Φ (définitions 3.5 et 4.37), soit ici : 653 518 k k E neuf an 1 neuf an 1 = = = Φ Φ 793 , 0 E = 4. La surface d’échange Σ n’est pas la même des deux côtés. Suite à la question 1, on calcule une valeur approchée de Σ par (6.10) (§ 6.2.3♦) : 1 10 2 18 21 L 2 d D 3 × + = + = − π π Σ 2 3 m 10 . 61 − = Σ Le flux échangé est donné par (6.2c) qui s’écrit avec les notations de l’énoncé : 15 10 . 61 518 ) T T ( k 3 1 2 × × = − = − Σ Φ W 475 = Φ Commentaires Cet exercice très élémentaire a surtout pour objet de matérialiser des ordres de grandeur. Pour les étudiants, sa principale difficulté réside dans le calcul de l’épaisseur de la paroi, qui n’est pas d D − comme on le lit souvent !! PROBLÈME N° 2 : Méthode NUT Énoncé Un échangeur à contre-courant fonctionne dans les conditions suivantes : kW 415 Puissance q q C 290 T C 200 T C 120 T C 350 T tf min t fs cs fe ce = = ° = ° = ° = ° = Φ 1. Quelle est la puissance échangée si on fait travailler l’échangeur en mode co- courant, avec les mêmes températures d’entrée et les mêmes débits ? (Utiliser la méthode NUT). 2. Quelles sont les nouvelles températures de sortie ? Solution 1. En contre-courant, avec tf min t q q = , on a pour efficacité (cf. 3.11) : 74 , 0 120 350 120 290 T T T T E fe ce fe fs = − − = − − = 882 , 0 120 290 200 350 T T T T R fe fs cs ce = − − = − − = et, à partir du tableau 3.1 : 45 , 2 E 1 E R 1 Ln R 1 1 NUT = − − − = En circulation co-courant, les débits n’étant pas modifiés, les coefficients d’échange ne le sont pas non plus. On garde donc le même NUT (vu que min t q / k NUT Σ = ). Par contre, la nouvelle efficacité E’ s’écrit (tableau 3.1) : [ ] { } NUT ) R 1 ( 1 exp 1 R 1 1 ' E + − − + = Il vient, après remplacement de R et NUT par leur valeur : 526 , 0 ' E = Puisque les conditions d’entrée sont identiques dans les deux cas, la nouvelle puissance ' Φ est telle que : E ' E ' = Φ Φ ceci d’après la relation (3.12). Alors : 74 , 0 526 , 0 415 ' = Φ kW 295 ' = Φ c’est-à-dire 70% de la puissance en contre-courant. 2. La nouvelle température de sortie froide ' fs T s’obtient à partir de la nouvelle efficacité : fe ce fe ' fs T T T T ' E − − = ) 120 350 ( 526 , 0 120 ) T T ( ' E T T fe ce fe ' fs − + = − + = C 241 T ' fs ° = et la nouvelle température de sortie chaude ' cs T à partir de R : 882 , 0 T T T T R fe ' fs ' cs ce = − − = inchangé ) 120 241 ( 882 , 0 350 ) T T ( R T T fe ' fs ce ' cs − − = − − = C 3 , 243 T ' cs ° = Commentaires Il y a d’autres façons de résoudre ce petit exercice, par exemple en utilisant les résultats du chapitre 2. Mais la démarche préconisée permet de se roder à la méthode NUT dans un cas simple. Avec cette valeur de R, on est déjà dans la zone asymptotique d’un échangeur co- courant (fig. 3.1), et les températures de sortie sont donc très voisines. PROBLÈME N° 3 : Échangeur bitube Énoncé Pour refroidir un débit de 9,4 kg/h d’air de 616 °C à 178 °C, on le fait passer dans le tube central d’un échangeur bitube à contre-courant de 1,5 m de long, de 2 cm de diamètre et de faible épaisseur. 1. Calculer la puissance calorifique à évacuer. On donne pour l’air : K kg / J 1060 C pc = . 2. Le fluide de refroidissement est de l’eau, qui pénètre dans la section annulaire à la température de 16 °C avec un débit de 0,6 l/mn. Calculer la température de cette eau à la sortie de l’échangeur. On prendra K kg / J 4180 C pf = . 3. Calculer le coefficient d’échange c h côté fluide chaud (on ne tiendra pas compte d’une éventuelle correction en p / µ µ ). 4. Déterminer l’efficacité de cet échangeur, puis son NUT. En déduire le coefficient d’échange global, puis le coefficient d’échange f h côté fluide froid. 5. La paroi extérieure de l’échangeur est isolée. Quelle est approximativement l’épaisseur b de l’espace annulaire qui permettrait d’obtenir cette valeur de f h ? (On admettra d’abord l’écoulement laminaire, et on vérifiera ensuite cette propriété). Solution 1. Le flux total peut se calculer côté chaud : ) T T ( q cs ce tc − = Φ D’après les données, le débit thermique unitaire chaud est : 1060 3600 4 , 9 C q q pc mc tc × = = K / W 77 , 2 qtc = et alors : ) 178 616 ( 77 , 2 − = Φ W 1213 = Φ 2. Le calcul du flux total côté froid va maintenant nous donner fs T . ) T T ( q fe fs tf − = Φ avec ici : 4180 60 6 , 0 C q q pf mf tf × = = ( mn / kg 3 , 0 qmf = ) K / W 8 , 41 qtf = d’où : 29 16 8 , 41 1213 16 q T T tf fe fs + ≅ + = + = Φ C 45 T fs ° ≅ 3. Il faut d’abord connaître le régime d’écoulement de l’air, donc le Reynolds côté chaud. La température moyenne de l’air est approximativement (§ 6.2.1) : K 670 C 397 2 178 616 2 T uploads/Finance/ et-problemes-pdf.pdf