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Université Ibn Zohr ; Faculté des Sciences Département de Mathématiques Pr. H.

Université Ibn Zohr ; Faculté des Sciences Département de Mathématiques Pr. H. Douzi Durée 1h30’ Examen d’Analyse Numérique SM4-SMI4 ; Juin 2012 On attachera le plus grand soin à la rédaction et à la présentation claire et lisible des résultats Questions de cours 1. Donner une définition de la notion d’algorithme en Analyse numérique. 2. Quelles sont les deux grandes approches numériques pour résoudre un système linéaire ?, donner des exemples de méthodes pour chaque cas. Problème 1 On considère les deux systèmes linéaires suivants : 1. Etude du premier système : a. Calculer la factorisation LU de la matrice A1. b. Résoudre le système linéaire A1x = b1 en utilisant la factorisation LU de A1 2. Etude du deuxième système : a. Vérifier que l’algorithme de factorisation LU pour la matrice A2 ne peut pas être exécuté jusqu’au bout. b. Trouver une matrice P de permutation de façon à ce que la matrice PA2 soit factorisable, puis calculer la factorisation LU de PA2. c. Résoudre le système linéaire A2x = b2 en utilisant la factorisation trouvée 3. Calculer le déterminant des matrices A1 et A2 en utilisant leurs factorisations LU Problème 2 On considère l'équation 0 1 2   x x 1. Etude de la fonction 1 ) ( 2    x x x f : a. Tracer approximativement le graphe de la fonction b. Encadrer les deux racines 2 1  et de la fonction par des intervalles de longueurs 1 . c. Montrer que 1 2 1     (Propriété des équations de second ordre) 2. On veut approcher une des racines par dichotomie : a. Appliquer la dichotomie jusqu’à l’encadrement d’une des deux racines par un intervalle de longueur 0.25 b. En déduire un intervalle d’encadrement de longueur 0.25 pour l’autre racine. 3. On veut résoudre la même équation par la méthode de Newton. a. Donner la fonction g de point fixe associée à cette méthode b. Montrer que les deux racines sont des point fixes attractifs de g c. Comment doit-t- on choisir le point initial 0 x pour converger vers l’une des racines ? www.goodprepa.tech uploads/Finance/ exam-an-juin12.pdf