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MATLAB ® Matlab est un logiciel de calcul numérique. Matlab est développé et co

MATLAB ® Matlab est un logiciel de calcul numérique. Matlab est développé et commercialisé par la société américaine The MathWorks. Voici une introduction qui vous suffira largement si vous utilisez les outils mathématiques de façon ponctuelle. N.B. Ce qui suit a été testé avec les versions 4.2. et 6.5.  Site officiel de Matlab : www.mathworks.com Première partie : Eléments de base  Utilisation de Matlab à la manière d’une calculatrice scientifique 1-Variables et constantes spéciales ans réponse la plus récente pi nombre pi inf plus l'infini -inf moins l'infini NaN (Not-a-Number) 2-Opérateurs mathématiques + addition - soustraction * multiplication / division ^ puissance >> (2 + 5.2)*10 / (5^3) ans = 0.5760 >> -2.52e3 ans = -2520 >> 2*pi ans = 6.2832 format long e affiche 16 chiffres : >> format long e >> 2*pi ans = 6.283185307179586e+000 format short (format par défaut) affiche 5 chiffres : >> format short >> 2*pi ans = 6.2832 >> 1 / 0 Warning: Divide by zero ans = Inf >> -1 / 0 Warning: Divide by zero ans = -Inf >> 0 / 0 Warning: Divide by zero ans = NaN 3- Fonctions mathématiques sin(X) sinus asin(X) sinus inverse cos(X) cosinus acos(X) cosinus inverse tan(X) tangente atan(X) tangente inverse avec X : argument en radians. exp(X) exponentielle log(X) logarithme naturel (base e) log10(X) logarithme décimal (base 10) sqrt(X) racine carrée abs(X) valeur absolue >> sin(2) ans = 0.9093 sinus (45°) : >> sin(45*pi/180) ans = 0.7071 >> 1 + exp(2.5) ans = 13.1825 4- Utilisation de variables >> 5*3 ans = 15 >> ans+4 ans = 19 >> a= 2 + log(15) a = 4.7081 >> b = - 45 b = -45 >> a * b ans = -211.8623 >> c = a - sqrt(abs(b)) c = -2.0002  Calcul sur les nombres complexes  Fonctions : i imaginaire pur j imaginaire pur conj(X) conjugué du nombre complexe X real(X) partie réelle imag(X) partie imaginaire abs(X) module angle(X) argument (en radians)  Exemples : >> (4 - 2.5i)*(-2 + i)/(1 + i) ans = 1.7500 + 7.2500i >> a = 1 + i a = 1.0000 + 1.0000i >> b = -2 + 3.5j b = -2.0000 + 3.5000i >> a + b ans = -1.0000 + 4.5000i >> a * b ans = -5.5000 + 1.5000i >> a / b ans = 0.0923 - 0.3385i >> conj(a) ans = 1.0000 - 1.0000i >> a * conj(a) ans = 2 >> real(a) ans = 1 >> imag(conj(a)) ans = -1 >> abs(a) ans = 1.4142 >> angle(a) ans = 0.7854 sqrt : fonction racine carrée >> c = 2 - sqrt(3)*i c = 2.0000 - 1.7321i >> abs(c) ans = 2.6458 >> angle(c) ans = -0.7137 Argument en degrés : >> angle(c)*180/pi ans = -40.8934  Calcul sur les matrices  Fonctions : + addition de matrices - soustraction de matrices * produit de matrices ^ puissance eye (n) matrice unité (matrice identité) de taille n x n Inv (X) inverse de la matrice carrée X rank (X) rang de la matrice X (nombre de colonnes ou de lignes indépendantes) det (X) déterminant de la matrice carrée X X ' transposée de la matrice X / division à droite : A / B est équivalent à A * inv(B) \ division à gauche : A \ B est équivalent à inv(A) * B  Exemples : Saisie d'une matrice carrée de taille 3 x 3 : >> A = [ 2 4 5 ; 1 5 7 ; -3 3 1] A = 2 4 5 1 5 7 -3 3 1 >> A(2 , 3) ans = 7 >> A(2 , 3) = 6 A = 2 4 5 1 5 6 -3 3 1 >> A' ans = 2 1 -3 4 5 3 5 6 1 >> inv(A) ans = 1.0833 -0.9167 0.0833 1.5833 -1.4167 0.5833 -1.5000 1.5000 -0.5000 >> D = A * inv(A) D = 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 >> rank(A) ans = 3 >> det(A) ans = -12 >> eye(7) ans = 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 >> B = [ 1 1 0 ; 1 0 1 ; 0 1 1 ] B = 1 1 0 1 0 1 0 1 1 >> A + B ans = 3 5 5 2 5 7 -3 4 2 >> 2 + A ans = 4 6 7 3 7 8 -1 5 3 >> 2 * A ans = 4 8 10 2 10 12 -6 6 2 >> A * B ans = 6 7 9 6 7 11 0 -2 4 >> B * A ans = 3 9 11 -1 7 6 -2 8 7 >> A*A*A ans = -88 304 262 -98 314 268 -18 18 10 >> A^3 ans = -88 304 262 -98 314 268 -18 18 10 Saisie d'une matrice à coefficients complexes de taille 2 x 3 : >> C = [ 1 + i 0 0 ; 1 - i i 2] C = 1.0000 + 1.0000i 0 0 1.0000 - 1.0000i 0 + 1.0000i 2.0000 >> C * A ans = 2.0000 + 2.0000i 4.0000 + 4.0000i 5.0000 + 5.0000i -4.0000 - 1.0000i 10.0000 + 1.0000i 7.0000 + 1.0000i  Résolution d’un système d’équations linéaires  Fonction : \ division à gauche de matrices A \ B est équivalent à : inv(A)*B Exemple n°1 : Soit à résoudre un système de 3 équations à 3 inconnues x1, x2 et x3 : On saisit les différents coefficients dans une matrice 3 x 3 : >> A = [ 3 2 1 ; -1 5 2 ; 4 -2 3 ] A = 3 2 1 -1 5 2 4 -2 3 On complète avec un vecteur colonne 3 x 1 : >> B = [ 4 ; -1 ; 3 ] B = 4 -1 3 La solution est donnée sous la forme d'un vecteur colonne : >> A \ B ans = 1.3279 0.2951 -0.5738 Autre méthode : >> inv(A) * B ans = 1.3279 0.2951 -0.5738 >> format long e >> A \ B ans = 1.327868852459016e+000 2.950819672131148e-001 -5.737704918032788e-001 >> X = A \ B X = 1.327868852459016e+000 2.950819672131148e-001 -5.737704918032788e-001 >> X(1) ans = 1.327868852459016e+000 >> X(2) ans = 2.950819672131148e-001 >> X(3) ans = -5.737704918032788e-001 Vérification : >> 3*X(1) + 2*X(2) + X(3) ans = 4 >> -X(1) + 5*X(2) + 2*X(3) ans = -9.999999999999998e-001 >> 4*X(1) -2*X(2) + 3*X(3) ans = 3.000000000000000e+000  Exemple n°2 : Soit le système d'équations paramétriques : On cherche à exprimer x1, x2 et x3 en fonction de b1, b2 et b3 : >> A = [ -1 2 1 ; -1 1 2 ; 1 -2 1 ] A = -1 2 1 -1 1 2 1 -2 1 >> inv(A) ans = 2.5000 -2.0000 1.5000 1.5000 -1.0000 0.5000 0.5000 0 0.5000 >> format rational >> inv(A) ans = 5/2 -2 3/2 3/2 -1 1/2 1/2 0 1/2 >> format short >> inv(A) ans = 2.5000 -2.0000 1.5000 1.5000 -1.0000 0.5000 0.5000 0 0.5000 Finalement :  Création du fichier .m d’une fonction y=f(x)  Fonction : function  Exemple Soit la fonction : a) Commencez pour ouvrir un éditeur de texte : Dans la fenêtre de commande de Matlab : File -> New -> M-file Avec la version 4.2. l'éditeur de texte par défaut est l'application "Bloc-notes". Avec la version 6.5. l'éditeur de texte par défaut est l'application "M-File Editor". b) Donnez un nom à cette fonction (dans cet exemple fonc) et saisissez son expression mathématique : Attention : il faut mettre un point devant les opérateurs multiplication, division et puissance : .* ./ .^ c) Sauvegardez le fichier dans votre répertoire de travail (par exemple c:\USERS) Nom : fonc Extension : .m d) Ajoutez le chemin du répertoire où se trouve votre fichier fonc.m Avec la version 4.2. : >> path(path,'c:\USERS') Avec la version 6.5. : File -> Set Path -> Add Folder -> Save -> Close Remarque : Vous pouvez utiliser n'importe quel nom pour les variables. La fichier suivant donne le même résultat :  Evaluation d'une fonction Calcul de y ( x = 0 ) : >> fonc(0) ans = 2 Calcul de y ( x = 5 ) : >> fonc(5) ans = 10.2010 >> fonc(-1) Warning: Divide by zero ans = Inf Avec en argument un vecteur, la fonction retourne un vecteur : >> fonc( [0 1 2 3 4 5] ) ans = 2.0000 3.8415 3.9099 6.9121 8.1121 10.2010 >> x = 0 : 5 x = 0 1 2 3 4 5 >> y = fonc(x) y = 2.0000 3.8415 3.9099 6.9121 8.1121 10.2010 Avec en argument une uploads/Finance/ exemples-matlab-presentation.pdf