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Gérard DUTHIL Maitre de conférences en économie Habilité à diriger des recherch

Gérard DUTHIL Maitre de conférences en économie Habilité à diriger des recherches Directeur du département AES Université de Rouen Les exercices proposés ci-dessous illustrent le cours de statistique descriptive. Ils sont corrigés en reprenant les formules du cours dispensé en première année d’économie et d’AES. Bibliographie : G. Duthil, D. Vanhaecke, Initiation à la statistique descriptive, éds Ellipses G. Duthil, D. Vanhaecke, Statistiques descriptives appliquées à l’économie d’entreprise, éds L’harmattan. G. Duthil, D. Gambier, Statistiques probabilistes appliquées à l’économie d’entreprise, éds L’harmattan. I - Les paramètres de position : Exercice 1 Dans une région française, la distribution des exploitations agricoles se définit comme suit (les deux premières colonnes) : Classe : en hectares Effectifs : ni Valeurs centrales : xi Effectifs cumulés : ncumi Intervalles de classe : ai Densités : ni /ai Fréquences : fi 5-6 12 5.5 12 1 12 0.12 6-7 18 6.5 30 1 18 0.18 7-9 30 8 60 2 15 0.30 9-12 18 10.5 78 3 6 0.18 12-20 8 16 86 8 1 0.08 20-30 7 25 93 10 0.7 0.07 30-100 7 65 100 70 0.1 0.07 Total : N=100 1 Etudier l’ensemble des indicateurs de position pour la série. Corrigé : 1/ Calcul des valeurs centrales : les moyennes : Moyenne arithmétique : _ X = (1/N) ∑ ni xi = (1/100) (12x5.5 + 18x6.5 + 30x8 + …) = 1370/100 = 13.7 hectares. Moyenne harmonique : H= N/ [∑ni/xi] = 100/ [(12/5.5) + (18/6.5) + (30/8) + (18/10.5) + (8/16) + (7/25) + (7/65)] H= 100/11.3030 = 8.847 hectares Moyenne géométrique : utilisation des fréquences (fi = ni/N) G=π xi fi = 5.50.12 x 6.50.18 x 80.3 x 10.50.18 x 160.08 x 250.07 x 650.07 = 10.256 hectares Moyenne quadratique : Q= [(1/N) ∑ ni xi 2]1/2 = [(1/100) (12x5.52 + 18x6.52 + 30x82 + …)]1/2 = Q = [(1/100) 41026]1/2 = 20.255 hectares On vérifie la hiérarchie des moyennes : X < H < G < Q 2/ Calcul des quantiles : La médiane : Me : rang : N/2 = 100/2 = 50 Colonne effectifs cumulés : 30<50<60 Colonne classes : 7<Me<9 (Me-7) / (9-7) = (50-30) / (60-30)  (Me-7) / 2 = 20/30 = 2/3  Me-7 = 4/3  Me = 7 + 4/3 = 8.33 Ainsi 50% des exploitations ont une superficie inférieure à 8.33 hectares et 50% une superficie supérieure. En procédant de la même manière, on obtient les autres quartiles : Q1 = 6.72 hectares ; ainsi 1/4 des exploitations ont moins de 6.72 hectares et 3/4 ont plus de cette superficie. Q3 = 11.50 hectares ; ainsi 3/4 des exploitations ont moins de 11.5 hectares et 1/4 ont plus de cette superficie. Et les déciles : D1 = 5.83 D2 = 6.44 D3 = 7 D4 = 7.66 D6 = 9 D7 = 10.67 D8 = 14 D9 = 25.71 3/ Détermination de la classe modale, classe dont la densité est la plus élevée. La densité est le nombre d’unités statistiques par unité d’intervalle, c’est-à-dire le rapport entre l’effectif et l’intervalle de classe. La classe modale est donc la classe 6 – 7. Exercice 2 : La distribution statistique de la variable Y est présentée dans le tableau suivant : Classes de valeurs de Y : effectifs : 0-30 100 30-60 320 60-100 330 100-500 170 500-1000 80 1/ Calculer les moyennes arithmétique, harmonique, quadratique et géométrique et commenter. 2/ Calculer la médiane, l’écart interquartile et le coefficient de variation. 3/ Que deviennent les valeurs des paramètres calculés lorsque toutes les valeurs de la variable Y augmentent de 10% ? 4/ Que deviennent les valeurs des paramètres calculés lorsque la borne supérieure de la dernière classe est égale à 2000 ? 5/ Calculer la moyenne arithmétique en supposant que l’effectif de la première classe augmente de 50%. Corrigé : 1/ Calcul des moyennes arithmétique, harmonique, quadratique et géométrique et commenter. La moyenne arithmétique est obtenue en divisant la somme des ni.xi par N, l’effectif global, soit 153.30 La moyenne quadratique est obtenue en divisant la racine de la somme des (ni.xi)2 par N, l’effectif global, soit 251.16 La moyenne harmonique est égale à 53.83 La moyenne géométrique est égale à 84.29 On vérifie l’échelle des moyennes : la plus petite est l’harmonique, puis la géométrique, l’arithmétique et enfin la quadratique. 2/ Calculer la classe modale, la médiane, l’écart interquartile et le coefficient de variation. La classe modale est celle qui a la plus grande densité des effectifs, soit la classe (30-60) La médiane partage l’effectif en deux parties égales ; soit : Me = 69.69 Ainsi 50% des effectifs ont une valeur supérieure à cette valeur et réciproquement. Le premier quartile partage l’effectif au premier quart ; soit : Q1 = 44.06 Ainsi 25% des effectifs ont une valeur inférieure à 44.06 et 75% au-dessus. Le troisième quartile partage l’effectif au troisième quart ; soit : Q3 = 100 Ainsi 75% des effectifs ont une valeur inférieure à 100 et 25% au-dessus de 62.5. L’intervalle interquartile est égal à Q3-Q1 = 55.94 L’intervalle relatif (Q3-Q1)/(Q3+Q1)*100 = 38.83% Ce qui montre une dispersion faible des valeurs autour de la médiane. La variance est l’écart entre le carré de la moyenne quadratique et le carré de la moyenne arithmétique, soit : V = 39581.61 Avec pour racine de la variance, l’écart type égal à E = 198.95 D’où le coefficient de variation CV égal au rapport entre l’écart type et la moyenne arithmétique, soit : 198.95/153.30*100 = 129.77% Ce qui montre une forte dispersion des valeurs autour de la moyenne arithmétique. 3/ La moyenne et l’écart type sont multipliés par 1.1 donc le rapport donnant le CV reste inchangé. 4/ La moyenne augmente légèrement du fait du faible effectif de la dernière classe (M = 193.30) mais la dispersion augmente du fait d’une forte augmentation de la borne supérieure de la dernière classe (E = 325.14) ; donc le coefficient de variation augmente (CV = 168.21). 5/ Si l’effectif de la première classe augmente de 50%, il devient 150 sur un effectif total de 1050. La moyenne arithmétique est obtenue en divisant la somme des ni.xi par N, l’effectif global, elle devient donc plus faible. classes effectifs: ni intervalles:a i densités:hi xi ni xi ni xi2 0-30 100 30 3,333333333 15 1500 22500 30-60 320 30 10,66666667 45 14400 648000 60-100 330 40 8,25 80 26400 2112000 100-500 170 400 0,425 300 51000 15300000 500-1000 80 500 0,16 750 60000 45000000 1000 153300 63082500 moy arith=> 153,3 63082,5 moy Q => 251,162298 Variance=> 39581,61 écart type=> 198,951275 CV => 1,29779045 effectifs: ni xi ni/xi fréquences: fi xi^ni fi cumulées 100 15 6,66666667 0,1 1,31101942 0,1 320 45 7,11111111 0,32 3,38086636 0,42 330 80 4,125 0,33 4,24638821 0,75 170 300 0,56666667 0,17 2,63700294 0,92 80 750 0,10666667 0,08 1,69826282 1 1000 18,5761111 1 84,2892793 moy H => 53,8325807 moy G médiane=> 69,6970 Q1 => 44,0625 Q3=> 100 Q3-Q1 => 55,9375 classes effectifs: ni xi ni xi ni xi2 0-30 100 15 1500 22500 30-60 320 45 14400 648000 60-100 330 80 26400 2112000 100-500 170 300 51000 15300000 500-2000 80 1250 100000 125000000 1000 193300 143082500 moy arith=> 193,3 143082,5 105717,61 écart type=> 325,142446 CV => 1,68206128 classes effectifs: ni xi ni xi x'i ni x'i 0-30 150 15 2250 16,5 2475 30-60 320 45 14400 49,5 15840 60-100 330 80 26400 88 29040 100-500 170 300 51000 330 56100 500-1000 80 750 60000 825 66000 1050 154050 169455 moy arith=> 146,7142857 161,385714 effectifs: ni xi ni/xi fréquences: fi xi ni fi cumulées 100 15 6,66666667 0,1 1,3110194 2 0,1 320 45 7,11111111 0,32 3,3808663 6 0,42 330 80 4,125 0,33 4,2463882 1 0,75 170 300 0,56666667 0,17 2,6370029 4 0,92 80 750 0,10666667 0,08 1,6982628 2 1 1000 18,5761111 1 84,289279 3 53,8325807 Exercice 3 : La distribution statistique de la variable Y (Chiffre d’affaires mensuel en milliers d’euros de 1000 entreprises) est présentée dans le tableau suivant : Classes de valeurs de Y : effectifs : 5-20 300 20-50 400 50-100 200 100-1000 100 1000 1/ Calculer les moyennes arithmétique et quadratique. 2/ Calculer la médiane, l’écart interquartile et le coefficient de variation. 3/ Que deviennent les valeurs des paramètres calculés lorsque toutes les valeurs de la variable Y augmentent de 5% ? 4/ Que deviennent les valeurs des paramètres calculés lorsque la borne supérieure de la dernière classe est égale à 2000 ? 5/ Calculer la moyenne arithmétique en supposant que l’effectif de la première classe augmente de 50%. Corrigé : 1/ La moyenne arithmétique est obtenue en divisant la somme des ni.xi par N, l’effectif global, soit 87750/1000 = 87.75 La moyenne quadratique est obtenue en divisant la racine de la somme des (ni.xi)2 par N, l’effectif global, soit 31911.875/1000 = 178.64 2/ La médiane partage l’effectif en deux parties égales ; soit : Me = 20 + 30*(500-300)/400 = 35 Ainsi 50% des effectifs ont une valeur supérieure à 35 et réciproquement. Le premier quartile partage l’effectif au premier uploads/Finance/ exercices-corriges-de-statistiques 2 .pdf