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Canon Research Centre France MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS ENSEIGNEMENT DES EL

Canon Research Centre France MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS ENSEIGNEMENT DES ELEMENTS FINIS Cours & Travaux Dirigés Année universitaire 2010-2011 Gérald KERGOURLAY gerald.kergourlay@crf.canon.fr Canon CRF, Cesson-Sévigné Canon Research Centre France 2 • Ce cours préparatoire a pour objectif de présenter la méthode des Eléments Finis (EF) et son champ d’application après des rappels succincts de Mécanique des Milieux Continus (MMC). • Les 2 premières séances permettront de rappeler le cadre théorique, à travers la problématique concrète du passage du solide réel au solide virtuel, défini par son/ses matériau(x) et sa géométrie. Une application simple sera présentée : la discrétisation de l’équation d’équilibre d’une poutre sous chargement statique. • Les séances 3&4 présenteront les maillages EF, leur qualité et leur convergence et quelques logiciels EF seront présentés. Des applications concrètes seront présentées (calculs dynamiques) dont une corrélation calcul- essai (comparaison avec des mesures expérimentales). • 4 modules consisteront en des dirigés sur la description à la main de ce que fait un logiciel EF sur un cas simple (calcul statique). Le premier TD concernera la modélisation d’une poutre en traction-flexion en 1D. Le deuxième TD traitera lui le cas d’une modélisation 2D. Introduction Canon Research Centre France 3 1. Du solide réel au solide virtuel – Aspects matériau – Calcul structures 2. Poutres sous chargement Méthodes numériques en statique – Calcul flexion, méthode des Différences Finies (DF) – Calcul traction, méthode des EF Séances 1 & 2 Canon Research Centre France 4 3. Maillage EF – Quelques éléments – Critères de qualité – Convergence du maillage (étude de sensibilité) 4. Logiciels/codes EF de dynamique des structures – Analyse modale – Présentation de logiciels – Démarche sous CATIA V5 (application ventilateur) – Corrélation calcul-essais en vibroacoustique • Analyse modale expérimentale • Ventilateur Séances 3 & 4 Canon Research Centre France 5 1. Mise en œuvre de la méthode des EF – Exemple de calcul statique – Résolution du système linéaire – Exemple de prise en compte des Conditions aux Limites (CLs) en déplacement 2. Traction-flexion d’une poutre (TD) – Etude d’un élément – Etude d’une barre – Prise en compte des CLs – Calcul du champ de déplacement 3&4. Cas 2D Séances TD Canon Research Centre France Séance 1 Du solide réel au solide virtuel Gérald KERGOURLAY gerald.kergourlay@crf.canon.fr Canon CRF, Cesson-Sévigné Canon Research Centre France 7 Mécanique du solide, rappels de MMC • Aspects matériau – éprouvette matériau – plan déformation/contrainte – tenseur des contraintes, invariants, critère de Von Mises, relation de comportement, exemples • Calcul structures, méthode des EF – équation d’équilibre – principe des puissances virtuelles – discrétisation • Conclusion Plan Canon Research Centre France 8 • F = mg • Eint = Eext • Raideur k, Module d’Young E L F F S u k u F Eprouvette matériau Rappels(1) F=ku Canon Research Centre France 9 • Déformation ε=∆L/L=u/L [%] Contrainte σ=F/S [Pa] σ=E ε L F F S u E σ=F/S ε=u/L ε0<<1 stress strain Rappels(2) σ=E ε Canon Research Centre France 10 • Coefficient de Poisson ν=εt/εl , 0<ν<1, ν~0,3 E σ=F/S ε=u/L ε0<<1 stress strain εt F εl Rappels(3) Canon Research Centre France 11 • Petites déformations • Champ de déplacement • Tenseur des contraintes [σij] est un tenseur symétrique défini positif et donc ses valeurs propres sont réelles, notées σ1 ,σ2 et σ3 • Invariants Tenseur des contraintes, invariants Canon Research Centre France 12 • Une pression hydrostatique ne peut pas provoquer la déformation plastique d’un matériau; seule l'énergie de distorsion influence la transition d'un état élastique à un état plastique: (σ1 −σ2)2 + (σ2 −σ3)2 + (σ3 −σ1)2= 2σ02 et pour des contraintes planes (σ3 = 0): σ12 + σ22 −σ1σ2 = σ02 Critère de von Mises (critère de plasticité) • Cette équation représente une ellipse dans le plan des principales contraintes σ1 et σ2 qui entoure le polygone donné par le critère de Tresca. Canon Research Centre France 13 • Eint = ½ σ:ε • σ=fct(ε, t, T,˙ε ,˙σ,…) • Eint = 0,f Î ½ σ:ε=0,f |D – manquent la Relation de Comportement (RdC) σ=fct(ε) – les Conditions aux Limites (CLs) u|Du ou F|Df – les Conditions Initiales (CIs) u(t=0), F(t=0) pour résoudre le système Résolution du problème Canon Research Centre France 14 • Matériau homogène isotrope Aucune direction privilégiée, macroscopiquement homogène Ex : Acier, inox, plastique .... • Relation entre u et ε en utilisant seulement des DL d'ordre 1: • Loi de Hooke: λ et µ sont les coefficients de Lamé Relation de comportement matériau Canon Research Centre France 15 • Solide soumis à un champ de pression surfacique et aucune force volumique • Equations d'équilibre locales • Solution du problème (en utilisant et ) • Premier invariant: Problème 1: compression uniforme Canon Research Centre France 16 • Poutre cylindrique de longueur L • F opposées exercées à chacune de ses extrémités • Equations d'équilibre locales • Solution du problème • Plus loin Problème 2: traction de poutre Canon Research Centre France 17 • Domaine élastique isotrope homogène • Equation d’équilibre: [M]{¨q}+[C]{˙q}+[K]{q}={F} {q}: Degrés de Liberté (DDLs) de la discrétisation [M] : matrice de masse [C] : matrice d’amortissement [K] : matrice de raideur {F}: forces extérieures Vers la structure: discrétisation spatiale . ux, wx uy, wy uz, wz Canon Research Centre France 18 • Statique σ:ε=E ε2 ~Ku=F Æ calcul de la flèche d’une poutre sous effort de flexion par exemple • Dynamique M¨q+C˙q+Kq=0 (solide) Kp¨p+F=0 (fluide) Æ résolution modes propres du système Analyses Canon Research Centre France 19 • Poutre en flexion: modèle 1D • Problème : calculer la flèche u(x) connaissant les propriétés physiques du matériau (RdC) et le champ de force F(x) Æ objectif de la séance 2 Poutre sous chargement statique Canon Research Centre France 20 • Vibro-coustique: couplage air interne / enceinte • Problème: calculer les fluctuations de pression dans le coffret (prise en compte du comportement modal de l’air interne) couplées avec le comportement vibratoire de l’enceinte Æ dynamique = séance 4 Résolution modes propres Fluctuation de Pression Termes de Couplage Maillage du fluide interne Canon Research Centre France 21 • Soit D le domaine 3-D, les forces de volume, les forces de surface • Les champs virtuels vérifiant sont dit cinématiquement admissibles C.A. {0}, C.A. • PPV: Principe des puissances virtuelles (1) Canon Research Centre France 22 • Soit en utilisant Ostrogradski et une intégration par parties Principe des puissances virtuelles (2) • Soit puisque Canon Research Centre France 23 • Pour effectuer un calcul de structure, il est nécessaire de connaître : – les équations d’équilibre et les efforts appliqués – les conditions aux limites – la loi de comportement • Les différentes formulations énergétiques permettent de faire une synthèse de ces trois éléments constitutifs d'un problème de structure, et ainsi d'obtenir une formulation plus compacte et donc facile à discrétiser. Ce sont ces formulations qui sont à la base des méthodes numériques tel que les éléments finis. Conclusion Canon Research Centre France Séance 2 Poutres sous chargement Méthodes numériques en statique Gérald KERGOURLAY gerald.kergourlay@crf.canon.fr Canon CRF, Cesson-Sévigné Canon Research Centre France 25 Méthodes numériques en statique • Présentation du problème – poutres en flexion/en traction – effort statique • Calcul flexion, méthode des DF – équation d’équilibre/schéma DF/formule de Taylor – calcul de la flèche • Calcul traction, méthode des EF – schéma élémentaire/assemblé – calcul du déplacement • Conclusion Plan Canon Research Centre France 26 • Poutre en flexion/en traction: modèle 1D • Problème : calculer la flèche/déplacement u(x) connaissant les propriétés physiques du matériau (RdC) et le champ de force F(x) Problèmes Canon Research Centre France 27 • Approche expérimentale • Modélisation mécanique • Modélisation – Problème aux limites – Minimisation d’une énergie • Problème aux limites −u" + c(x)u = F, u(0) = α, u(1) = β c(x)≥0 contient l’information relative à la distribution élastique du matériau. Les conditions aux limites sont précisées par les paramètres α et β. Stratégies (1) Canon Research Centre France 28 • Energie (*) • Trouver u Є H, J(u)=min|vЄH J(v) • Pour être complet, il est nécessaire de décrire correctement l’espace H, qui entre autre contiendra les informations sur les conditions aux limites. Stratégies (2) Canon Research Centre France 29 • Développer des méthodes numériques pour la résolution de l’équation (*) puis écrire un algorithme. • Validation: – Comparaison avec les données expérimentales – Comparaison avec des solutions analytiques – Preuve de théorèmes de convergence • Méthodes : différences finies, éléments finis Motivation principale Canon Research Centre France 30 • Problème aux limites −u" + xu = (1 + 2x −x2)ex u(0) = 1, u(1) = 0 • On note dans la suite F(x) = (1 + 2x −x2)ex • On vérifie que la solution analytique vaut : u(x) = (1 −x) ex Différences finies Canon Research Centre France 31 • On cherche une approximation de u au point xi = i∆x, j = 1, ....,N, avec (N + 1) ∆x = 1. Cette approximation ponctuelle est notée ui Figure: description du maillage avec h = ∆x • On note UN = (u1, uploads/Finance/ gklergoiuurlay.pdf