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ñ œ ñ ñ ñ MAT 2250 Introduction à la théorie des groupes Luc Bélair, François B

ñ œ ñ ñ ñ MAT 2250 Introduction à la théorie des groupes Luc Bélair, François Bergeron et Christophe Hohlweg 20 novembre 2017 Université du Québec à Montréal Département de mathématiques Case postale 8888, Succursale Centre-Ville Montréal (Québec) H3C 3P8 2 Table des matières Page Table des Figures 7 Avant-propos 8 1 Groupes 13 1.1 Magma, monoïdes et groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Règles de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5 Ordre d’un groupe, ordre d’un élément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6 Le groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.7 Les isométries d’un polygone et le groupe diédral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.8 Groupes engendrés par des réﬂexions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.9 Un groupe à la Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2 Morphismes de groupes 51 2.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2 Isomorphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.3 Classiﬁer les groupes ﬁnis ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.4 Noyau et image d’un morphisme de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.5 Automorphismes intérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.6 Théorème de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.7 Produits de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3 4 TABLE DES MATIÈRES 3 Actions de groupes 75 3.1 Groupe opérant sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.2 Orbites et stabilisateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.3 Actions transitives et classes modulo un sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.4 Théorème de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.5 Formule de Burnside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4 Groupes quotients et théorèmes d’isomorphisme 101 4.1 Groupes quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.2 Théorème d’isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.3 Présentations (ﬁnies) de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5 Les p-groupes et théorèmes de Sylow 117 5.1 Les p-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.2 Théorèmes de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6 Groupes abéliens ﬁnis 125 6.1 Groupes abéliens primaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 6.2 Décomposition primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.3 Théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Finance/ groupes-2016.pdf