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Année 2018-2019 HLMA502 Topologie L3 Mathématiques Contrôle continu (15 novem

Année 2018-2019 HLMA502 Topologie L3 Mathématiques Contrôle continu (15 novembre 2018) durée : 1h30 N.B. Documents, calculatrices, téléphones portables interdits. La qualité de la rédaction et de la présentation sera prise en compte dans la notation. Les exercices sont indépendants. Partie 1. Démonstrations de cours N.B. En italiques : consignes pour la rédaction des démonstrations. Bien faire apparaître où et comment ces consignes sont utilisées. Exercice 1. (1 point) Soit (X, d) un espace métrique, et soient a ∈X et r > 0. Montrer que la boule ouverte B(a, r) est une partie ouverte de X. Utiliser les propriétés d'une distance et la dé nition des ouverts d'un espace métrique. Exercice 2. (1 point) On se donne deux distances d et d′ sur un ensemble X. On suppose qu'il existe deux constantes α, β > 0 telles que αd(x, y) ≤d′(x, y) ≤βd(x, y) quels que soient x, y ∈X. Montrer que d et d′ dé nissent les mêmes ouverts. Utiliser la dé nition des ouverts d'un espace métrique. Exercice 3. (1 points) Soient (X, dX) et (Y, dY ) deux espaces métriques. On munit le produit X × Y de la distance d∞associée à dX et dY . Montrer que si U est un ouvert de (X, dX) et si V est un ouvert de (Y, dY ), alors U × V est un ouvert de (X × Y, d∞). Utiliser la dé nition de d∞et des ouverts d'un espace métrique. Exercice 4. (3 points) Soit (X, d) un espace métrique, et soit A une partie de X. 1. Montrer que si A est une partie compacte de X, alors A est fermée dans X. 2. Montrer que si X est compact et si A est fermée dans X, alors A est une partie compacte. Utiliser la caractérisation séquentielle de la compacité et du fait d'être fermé. Exercice 5. (4 points) Soit f : X →Y une application continue entre deux espaces métriques, avec X compact. Montrer qu'alors f est uniformément continue. Raisonner par contraposée. Utiliser la caractérisation séquentielle de la compacité. Partie 2. Exercices Exercice 6. (1 point) Soit (X, d) un espace métrique. On rappelle que le diamètre diam(A) d'une partie bornée A ⊆X est dé ni par : diam(A) := sup{d(x, y) | x, y ∈A}. Soient A et B deux parties bornées de X telles que A∩B ̸= ∅. Montrer que diam(A∪B) ≤ diam(A) + diam(B). Exercice 7. (2 points) Soit (X, d) un espace métrique, et soient A, B deux parties de X. 1. On suppose que A est ouverte. a) Montrer que A ∩B ⊆A ∩B. b) Montrer que si A ∩B = ∅, alors A ∩B = ∅. 2. Donner un exemple d'espace métrique (X, d) et de parties A, B avec A non ouverte et A ∩B ̸⊆A ∩B. Exercice 8. (7 points) N.B. Vous pouvez admettre le résultat d'une question pour traiter les suivantes. Soient (X, d) un espace métrique compact, et f : X →X une application telle que : d(f(x), f(y)) ≥d(x, y) quels que soient x, y ∈X (1) On pose f0 := idX (application identité) et fn := f ◦· · · ◦f | {z } n fois . 1. Soient a, b ∈X. a) Montrer avec soin qu'il existe une extraction ϕ : N →N telle que les deux suites (fϕ(n)(a))n∈N et (fϕ(n)(b))n∈N soient convergentes. b) On pose ψ(n) := ϕ(n + 1) −ϕ(n). Montrer que lim n→+∞fψ(n)(a) = a et lim n→+∞fψ(n)(b) = b, et en déduire que d(f(a), f(b)) = d(a, b). c) Que vient-on de démontrer ? 2. Montrer que tout point a ∈X appartient à l'adhérence de f(X). 3. En déduire que f est surjective, puis qu'elle est bijective. 2 uploads/Finance/ hlma502-1819-cc1.pdf