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IEDF Techniques quantitatives 2 P38 Semestre 2 MATHEMATIQUES FINANCIERES (Cours

IEDF Techniques quantitatives 2 P38 Semestre 2 MATHEMATIQUES FINANCIERES (Cours et exercices non corrigés)  Intérêts simples, escomptes et effets équivalents  mise en équations de problèmes de gestion LES PARTAGES  Intérêts composés  Annuités  Emprunts et amortissement  TABLE FINANCIERE POUR LE CALCUL DE L’EXPRESSION ( ( 1 + i ) ^ m - 1 ) / i Intérêts simples, escomptes et effets équivalents Page 1 I. DEFINITIONS DE BASE  L’intérêt peut être défini comme étant la rémunération d’un placement d’argent, versée par un emprunteur à un prêteur. On peut donc dire que l’intérêt est le loyer de l’argent prêté  Une somme d’argent placée auprès d’une banque d’épargne, qui pratique un taux de t % , va rapporter au bout d’un certain temps un bénéfice Dans le vocabulaire financier : Somme d’argent est désignée par capital initial Certain temps est désigné par durée du placement Bénéfice est désigné par Intérêt Taux de t% , c’est par défaut un taux annuel Capital initial + intérêt = valeur acquise  L’intérêt est directement proportionnel : - Au capital placé ou emprunté, - A la durée du placement ou du prêt, - Au taux de placement - Les intérêts simples s’appliquent généralement aux opérations financières à court terme d’une durée inférieure ou égale à un(01) an.  L’intérêt simple s’applique généralement aux opérations financières à court terme ,d’une durée inférieure ou égale à une année.  L’intérêt simple ne produit pas , à son tour, un bénéficie II. DUREES DE PLACEMENT Année commerciale (ou année financière) = 12 mois = 360 jours Année civile = 12 mois = 365 jours (voir 365,25 jours) Les mois de janvier, mars, mai, juillet, août, octobre et décembre comptent chacun 31 jours Les mois d’avril, juin , septembre et novembre comptent chacun 30 jours Le mois de février compte 28 jours et toutes les 4 années, il compte 29 jours (Année bissextile). le mois de février compte 29 jours si son année est divisible par 4 Exemple Un capital est placé du 15 février 2019 au 16 mai 2019. Quel est-le Nombre de jours de placement ? 2019 n’est pas divisible par 4 , le mois de février 2019 compte 28 jours - - - Du 15 au 28 février 13 jours 15-02 exclu et 16 mai inclu - Du 1er au 31 mars 31 jour - Du 1er au 30 avril 30 jours Page 2 - Du 1er au 16 mai 16 jours soit un total de 90 jours III. FORMULES DE CALCUL Pour des raisons pratiques, on pose i = t/100 (ainsi si t=5% alors i=0.05) un capital C , placé au taux annuel de t% (i=t/100), va rapporter un bénéfice selon la durée de son placement. Durée Bénéficie Valeur acquise 1 année C.T/100 = C.i C + C.i = C(1+i) N années C.i.N C + C.i.N = C(1+iN) M mois C.i/12.M C + C.i.M/12 = C(1+i.M)/12 J jours C.i/360.J C + C.i/360.J = C(1+i.J/360) Remarques : 1. l’intérêt simple ne génère pas à son tour un bénéfice 2. l’’intérêt est post-compté lorsqu’il est versé à l’issue du placement 3. l’intérêt est précompté lorsqu’il est versé, par avance, au moment du placement. IV. ESCOMPTES ET EFFETS EQUIVALENTS Valeur nominale La valeur nominale d’un capital placé ou emprunté est la somme effectivement versée à une date déterminée choisie comme origine des calculs. Valeur acquise C’est la valeur nominale augmentée des intérêts produits ou acquis pendant la durée de placement ou tout simplement (capital initial + intérêts): l’escompte Page 3 c’est La substitution d’un capital payable comptant à un capital payable à terme , on distingue deux types d’escomptes :. - l’escompte commercial qui est l’intérêt de la valeur nominale pour le temps qui doit s’écouler entre le jour de négociation et celui de l’échéance. L’escompte rationnel qui est calculé sur l’avance à verser. - les banques pratiquent l’escompte commercial, c'est-à-dire que l’escompte est toujours précompté. Equivalence de deux effets - On dit que deux effets commerciaux (ou deux capitaux) sont équivalents à une époque déterminée, étant escomptés au même taux, s’ils ont la même valeur actuelle à cette date. - L’époque où les deux effets sont équivalents s’appelle date de l’équivalence des deux effets. - Théorème : Si deux effets sont équivalents un jour donné, ils ne l’étaient pas avant cette date et ne le seront plus après Page 4 E X E R C I C E S - Intérêts simples EXERCICE 1 Trois (3) Capitaux placés respectivement durant 1,2 et 4 ans , sont en progression géométrique , les intérêts produits respectivement par ces capitaux sont en progression arithmétique. Le premier capital , placé à 6% , génère une valeur acquise de 127 200 da Le deuxième capital, placé à 8% , produit un intérêt de 9600 da Calculer : Les 3 capitaux , les intérêts produits par le premier et le troisième capital, les valeurs acquises générées par le deuxième et le troisième capital, le taux de placement du troisième capital EXERCICE 2 Trois capitaux directement proportionnels aux entiers 3,4,5 constituent une somme de 48000 da.  Calculer leur montant respectif  Placés à 5% pendant des temps différents, ils ont rapporté ensemble 7200 da. L’intérêt du premier capital est la moitié de l’intérêt du second capital et l’intérêt du troisième est égal à la somme des deux autres. - Trouver l’intérêt de chacun des 3 capitaux - Calculer les temps pendant lesquels ils ont été placés EXERCICE 3 La différence des intérêts produits par un capital (placé à 10%) est de 6 da selon que l’on utilise l’année commerciale ou l’année civile. Quel est ce capital EXERCICE 4 Une personne emprunte une certaine somme. Si elle rembourse le capital et les intérêts au bout de six(6) mois, elle aura à payer 6695 da, si elle rembourse cette somme au bout de 1 an et 2 mois elle aura à payer 6955 da. Calculer :  Le capital emprunté  Le taux et les intérêts EXERCICE 5 Page 5 Un capital placé à 3% pendant un certain nombre de jours rapporte 35.32 da mais s’il était placé à 6% pendant 5 jours de plus, il rapporterait 77,55 da. Trouver le montant du capital et la durée du placement EXERCICE 6 Deux capitaux sont placés pendant 300 jours, le premier à 3 % et le second à 6 % . Le deuxième est les 3/4 du premier, l’intérêt rapporté par le second capital dépasse de 3 da celui rapporté par le premier capital Calculer :  Le montant de chaque capital  Le nombre de mois nécessaires pour que les deux capitaux aient la même valeur acquise EXERCICE 7 Une personne place les 4/5 d’un capital à 4 % pendant 30 jours, les ¾ du reste à 7 % pendant 10 mois, le reste qui s’élève à 9000 da à un certain taux pendant deux ans . Le total des intérêts s’élève à 3855 da, trouver le capital et le taux du troisième placement. EXERCICE 8 Un épargnant place une certaine somme à intérêt simple. Au bout de 8 mois ,il trouve à faire un autre placement plus avantageux , il retire donc la première somme qui se monte à 6160 da (capital et intérêt réunis) et la prête pendant un an à un taux double du premier . Il est alors remboursé par son emprunteur qui lui remet au total (capital+intérêt) la somme de 6652.80 da.  Quels étaient les deux taux d’intérêts ?  Quel était la somme primitivement placée ? EXERCICE 9 Page 6 Quatre capitaux 12500, 19000, 21000 ,8600 ont été placés à 6 % respectivement pendant 80 jours, 45 jours, 65 jours, 34 jours  Calculer les intérêts rapportés par ces capitaux  Calculer la somme de leurs valeurs acquises La somme totale de ces capitaux et de leurs intérêts est partagée entre les trois héritiers A,B,C proportionnellement au nombre d’enfants de chacun 2 ; 3 ; 5 et d’une façon inverse à leurs âges 32 ; 45 ; 48  Déterminer la part qui revient à chaque héritier. IEDF-P38 Mathématiques Financières Série 2/5 Semestre- 2 Exercices SUR LES PARTAGES Techniques quantitatives 2 RESUME Un bien P est à partager entre trois individus A , B , C en fonction de leurs paramètres respectifs A1 , B1 , C1 (les paramètres peuvent être les âges , les anciennetés, les présences au travail, les absences etc.). On désigne par P1 la part de l’individu A P2 la part de l’individu B P3 la part de l’individu C Il est évident de constater que P= P1 + P2 + P3  Si le partage se fait d’une façon proportionnelle (directe) , nous aurons la relation P1 / A1 = P2 / B1 = P3 /C1  Si le partage se fait d’une façon indirecte (inversement proportionnelle) nous aurons la relation A1.P1 = B1.P2 = C1.P3 EXERCICE 1 Un employeur veut répartir une gratification budgétisée de 200 000.00 da entre quatre (4) de ses employés A,B,C ,D uploads/Finance/ iedf-p38-cours-matfi.pdf