TECHNIQUES D’ANALYSE ECONOMIQUE 1 1.1 Introduction Cheikh Nokho Université de M
TECHNIQUES D’ANALYSE ECONOMIQUE 1 1.1 Introduction Cheikh Nokho Université de Montréal ECN 1070 A Les sous ensembles de R Les entiers naturels (N) : 0, 1, 2, ... Les entiers relatifs (Z) : ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... Les décimaux relatifs (D) : Un nombre décimal relatif est un nombre positif ou négatif qui peut s’écrire exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Un nombre décimal relatif peut aussi s’écrire sous la forme a 10n où a est un nombre entier relatif et n est un nombre entier naturel. Les nombres rationnels (Q) s’écrivent sous la forme a b , avec b ̸= 0 L’écriture décimale d’un nombre rationnel est soit finie, soit périodique (11/70=0.1 571428 571428... , 100/3=33.333...) Les irrationnels : nombres dont la partie décimale est illimitée et non périodique ( √ 2, √ 3...) ECN 1070 A Algèbre élémentaire Algèbre élémentaire (Annexe A du livre) ECN 1070 A Algèbre élémentaire Puissances Si a est un nombre donné et n un entier naturel, alors an = a · a · · · a (n fois) Illustration : Si p ̸= 0, alors p q 3 = p q · p q · p q Dans cet exemple, a = p q et n = 3 Propretés générales des puissances : 1 a0 = 1 (si a ̸= 0) 2 an · am = an+m 3 an/am = an−m 4 (an)m = an·m 5 (a · b)n = an · bn 6 a b n = an bn ECN 1070 A Algèbre élémentaire Fractions Addition de fractions : 1 a c + b c = a + b c 2 a b + c d = a · d + b · c b · d 3 a + c d = a · d + c d Multiplication et division de fractions : 1 a · b c = a · b c 2 a b · c d = a · c b · d 3 a b ÷ c d = a b · d c = a · d b · c ECN 1070 A Algèbre élémentaire Racines réelles d’un polynôme d’ordre 2 Un polynôme d’ordre 2 a la forme suivante : ax2 + bx + c (avec a ̸= 0) où a, b et c sont des réels et x est une variable inconnue. Les racines du polynôme ci-dessus sont les valeurs de x telles que ax2 + bx + c = 0 Pour trouver les racines, on applique la méthode du discriminant 1 On calcule ∆= b2 −4ac Si ∆≥0 le polynôme admet des racines réelles (on peut continuer) Si ∆< 0, le polynôme n’admet pas de racines réelles (utilisation de nombres complexes pour continuer) 2 Si ∆≥0, alors les racines sont x1 = −b − √ ∆ 2a et x2 = −b + √ ∆ 2a Remarque : Si ∆= 0, x1 et x2 sont identiques ; on dit alors que le polynôme admet une racine double ECN 1070 A Algèbre élémentaire Racines réelles d’un polynôme d’ordre 2 Explication de la méthode du discriminant f(x) = ax2 + bx + c f(x) = a(x2 + b ax) + c f(x) = a(x2 + 2 b 2ax) + c f(x) = a[(x + b 2a)2 −b2 4a2 ] + c f(x) = a(x + b 2a)2 −b2 4a + c f(x) = a(x + b 2a)2 −b2 −4ac 4a f(x) = a(x + b 2a)2 −∆ 4a ECN 1070 A Algèbre élémentaire Racines réelles d’un polynôme d’ordre 2 Etudions à présent trois possibilités selon le signe de ∆ ∆>0 f(x) = 0 a(x + b 2a)2 −∆ 4a = 0 (x + b 2a)2 = ∆ 4a2 x + b 2a = √ ∆ 2a ou x + b 2a = − √ ∆ 2a x = −b + √ ∆ 2a ou x = −b − √ ∆ 2a ECN 1070 A Algèbre élémentaire Racines réelles d’un polynôme d’ordre 2 ∆=0 f(x) = 0 a(x + b 2a)2 −∆ 4a = 0 (x + b 2a)2 = ∆ 4a2 (x + b 2a)2 = 0 x = −b 2a ∆<0 f(x) = 0 a(x + b 2a)2 −∆ 4a = 0 (x + b 2a)2 = ∆ 4a2 (x + b 2a)2 = ∆ 4a2 < 0 (absurde) ECN 1070 A Algèbre élémentaire La valeur absolue Valeur absolue : |a| = ( a si a ≥0 −a si a < 0 |x| < a signifie que −a < x < a |x| ≤a signifie que −a ≤x ≤a Exemple Trouver tous les nombres x tel que |3x −2| ≤5. Vérifier d’abord si cette inégalité est satisfaite pour x = −3, x = 0, x = 7/3 ECN 1070 A Algèbre élémentaire La racine carrée Racine carrée : Pour tout nombre positif ou nul a, si x2 = a, alors x = √a ou x = −√a Remarque Si x2 = a alors |x| = √a ECN 1070 A Logique mathématique Logique mathématique (sections 1.5 et 1.6 du livre) ECN 1070 A Logique mathématique Motivation Il est facile de commettre des erreurs de raisonnement dans la résolution d’un problème et d’arriver ainsi à une réponse fausse. Il est dangereux de calculer de façon routinière sans réfléchir, d’où la nécessité d’avoir quelques notions de logique mathématique. Exemple : résolution de l’équation x + 2 = √4 −x (x + 2)2 = 4 −x (en élevant au carré) x2 + 4x + 4 = 4 −x (en développant) x2 + 5x = 0 (en arrangeant) x + 5 = 0 (en divisant par x) x = −5 (mais pour x = −5, x + 2 ̸= √4 −x) La méthode semble bonne mais le résultat est faux ! ECN 1070 A Logique mathématique Quelques définitions Proposition : Énoncé qui peut être vrai ou faux Exemple : ≪Tous les individus qui respirent sont en vie≫. ≪Tous les individus qui respirent sont en bonne santé≫ Implication : P ⇒Q (lire ≪P implique Q≫, ou encore ≪si P est vrai alors Q est vrai≫, ou encore ≪Q est une conséquence de P≫) Exemple : Je vis ⇒Je respire. Remarque : P ⇒Q est équivalent à (non Q) ⇒(non P) Exemple : Je ne respire pas ⇒Je ne vis pas ECN 1070 A Logique mathématique Condition nécessaire et suffisante P est une condition suffisante pour Q si P ⇒Q (vivre est une condition suffisante pour respirer) Q est une condition nécessaire pour P si Q ⇒P (respirer est une condition nécessaire pour être en vie) P est une condition nécessaire et suffisante pour Q si Q ⇒P et P ⇒Q. Dans ce cas P est vrai si et seulement si Q l’est et vice-versa (on note P ⇔Q). J’ai une bonne vue ⇔Je n’ai pas besoin de lunettes de correction ECN 1070 A Logique mathématique La démonstration Tout théorème mathématique peut être mis sous la forme d’une implication P ⇒Q où P représente l’hypothèse (ce que l’on sait) et Q la conclusion. Illustration 1 : On veut démontrer la proposition P ⇒Q - Démonstration directe : on montre que si P est vrai alors Q est vrai - Démonstration indirecte (contraposition) : on montre que que si Q n’est pas vrai, alors P n’est pas vrai - Démonstration par l’absurde : on suppose que la proposition à démontrer est fausse, et on montre que cette supposition conduit à une contradiction. Illustration 2 : On veut démontrer que P ⇔Q - on démontre successivement P ⇒Q puis Q ⇒P Exemple : 1.10 p 27 du livre Utiliser trois méthodes différentes pour montrer que −x2 + 5x −4 > 0 = ⇒x > 0 ECN 1070 A Logique mathématique La démonstration Remarques : Un exemple n’est pas une preuve suffisante pour démontrer une généralité. On peut cependant parfois utiliser un exemple pour conclure une démonstration par l’absurde. ECN 1070 A Logique mathématique Preuve par induction On veut démontrer que la proposition A(n) est vraie pour tout entier naturel n. La preuve par induction (ou par récurrence) suit les étapes suivantes : 1 Montrer que A(n0) est vrai ; n0 ici est le premier entier naturel consideré dans la proposition. il peut être égal à 0, 1, 2 ... 2 Montrer que si la proposition est vraie à un ordre k, alors elle est aussi vraie à l’ordre k + 1 3 Conclure Exemple de proposition à démontrer par induction : Montrer que 1 + 2 + 3 + · · · + n = 1 2n(n + 1), pour tout entier naturel n ≥1 ECN 1070 A Logique mathématique Preuve par induction -Pour n=1, on a : 1 = 1 21(1 + 1) 1 = 1 Donc la proposition est vraie pour n=1. -Supposons que la proposition est vraie pour k, donc : 1 + 2 + 3 + · · · + k = 1 2k(k + 1) -Montrons que la proposition est vraie pour k+1 : 1 + 2 + 3 + ... + uploads/Finance/ intro-ecn-1070.pdf
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- Publié le Oct 02, 2021
- Catégorie Business / Finance
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