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Licence professionnelle RT Mise à niveau Traitement de l’information B. DERESME

Licence professionnelle RT Mise à niveau Traitement de l’information B. DERESME 2014 – 2015 Rappels: Les dipoles Le signal Fourier Les nombres complexes Trigonométrie Bode Dérivées et intégrales Logique Numération codage Les dipoles: Elément électrique qui communique avec l’extérieur par deux bornes A et B Il peut être passif (consommation d’énergie) ou actif (générateur d’énergie) Soumis à un signal sinusoïdal de fréquence f, on définit conventionnellement le sens des tensions et courants instantanées Pour une tension la flèche indique la polarité + à un instant t Le dipole résistif: On peut définir une résistance idéale, telle que la loi d’ohm U = RI soit toujours vérifiée quelles que soit le fréquence, la température et la puissance (dans d’autres cas, on considère notre résistance comme un circuit RL ou RC) En régime sinusoïdal: i et v sont en phase v = Vm cosωt = R Im cosωt conductance: G = 1/R Construction de Fresnel: 0 i v = Ri ψi Le dipole capacitif: On peut définir une capacité idéale, par deux conducteurs parfaits séparés par un isolant sans perte (diélectrique), tel que l’influence soit totale et qu’à toutes les fréquences, temps, puissances, la charge électrique qui apparaît soit Q = Cv La loi d’ohm devient: i = C dv/dt ou v = C-1∫ idt + V(0) avec V(0) charge à l’instant t = 0 En régime sinusoïdal: i = jCωv ou v = i/jCω Par identification: la loi d’ohm devient v = Zi, l’impédance Z = 1/jCω si on prend i = Im sinωt alors v = ( 1/Cω) Im sin(ωt - π /2) à démontrer Construction de Fresnel: v est en quadrature retard sur i I ϕi V ϕv Le dipole inductif: On suppose qu’il n’y a pas de pertes dans les conducteurs ni dans les milieux magnétiques La f.e.m d’induction est de la forme: e = -Ldi/dt La f.e.m aux bornes est : v = Ldi/dt avec i = L-1∫ vdt + I(0) et au repos à l’instant t = 0 alors I(0) = 0 En régime sinusoïdal: v = jLωi ou i = v/jLω Par identification: la loi d’ohm est toujours v = Zi, l’impédance Z = jLω si on prend i = Im sinωt alors v = ( Lω) Im sin(ωt + π /2) à démontrer Construction de Fresnel: v est en quadrature avancé sur i ϕv V I ϕi Dipole série, parallèle: dipole RC série en régime permanent sinusoïdal: la loi d’ohm devient: v = Ri + C-1∫ idt soit v = (R + 1/jCω)i = Zi alors Z = R + jX = R - j/Cω (impédance complexe) Construction de Fresnel: ϕv = ϕi + Arctg(X/R) I RI V I/Cω Sources d’énergie en régime permanent harmonique: La source de tension: la source est idéale, si la tension aux bornes est indépendante du courant délivré, indépendant de la charge, dv/di = 0 ou Zo = 0 La source de courant: La source est idéale, si le courant est indépendant de la tension aux bornes, di/dv = 0 ou Zo est infinie. Dans la réalité, les sources ne sont jamais idéales et présentent une impédance de sortie Zo Théorèmes fondamentaux des circuits: Principe de superposition: La réponse, en courant ou en tension, d’un réseau à constantes linéaires due à l’action de plusieurs sources indépendantes agissant simultanément, est égale à la somme des réponses, en courant ou en tension, dues à chaque source agissant isolement. Remarque: Ce principe n’est applicable qu’aux réseaux de configuration invariable. Principe de dualité: Ce principe permet de simplifier les calculs relatifs à certains circuits en se basant sur l’identité de forme d’un certain nombre de relations. V, i ou R, G ou L, C ou maille, nœud ou série, // Théorème de réciprocité principe Théorème de Thévenin: Ce théorème permet de déterminer les deux éléments f.e.m et Zo équivalents à un réseau quelconque possédant deux bornes de sortie A et B. Méthode: On calcule la f.e.m entre A et B à vide On calcule Zo en remplaçant les sources d’énergie par leurs impédances internes. Remarques: Les sources ne doivent pas être liées. Théorème de Norton: Ce théorème permet de déterminer les deux éléments du générateur de courant et l’admittance interne Yo équivalents à un réseau quelconque possédant deux bornes de sortie A et B. Théorème de Millman: Ce théorème résulte du théorème de Thèvenin à des générateurs de tensions en parallèles Diviseur de tension: Schéma Si Io = 0 ou Io << I alors Vo = Vi * Z2/(Z1+Z2) Lois de Kirchoff: Loi des nœuds: La somme des courants qui arrivent à un nœud est égale à la somme des courants qui en partent. Exemple: Loi des mailles: Dans une maille fermée la somme des tensions est nulle. Convention: On choisit un sens de parcours sur la maille, les tensions sont notées positives dans le sens de parcours et négatives dans le sens opposé exemple: Nombres complexes • Il existe dans C un nombre complexe noté i tel que i2 = -1. • Forme algébrique du nombre complexe z: z = a + jb Le nombre réel a s’appelle la partie réelle de z, le nombre réel b s’appelle la partie imaginaire de z. Calculs avec les nombres complexes: Les calculs se font comme avec les nombres réels Exemple: (5 + 2i) * (3 - 5i) = 5 * 3 - 5 *5i + 2i * 3 - 2i * 5i = 25 - 19i Egalité de deux nombres complexes: a + ib = a’ + ib’ équivaut à a = a’ et b = b’ en particulier: a + ib = 0 équivaut à a = b = 0 Le plan complexe: On considère un plan rapporté à un repère orthonormal (O, e1, e2) Ce plan est le « plan complexe » dés lors que: * A tout point M de coordonnées (xM, yM) on associe le complexe zM = xM + iyM * A tout complexe x + iy, on associe le point M dont le couple de coordonnées est (x, y), noté M (x +iy) et appelé image du nombre complexe x + iy Conséquence: affixe d’un vecteur Pour tout vecteur u il existe un point M et un seul tel que OM = u Pour touts points A et B, il existe un point M et un seul tel que OM = AB. Le point M et le vecteur AB ont pour coordonnées (xB – xA, yB – yA) et pour affixe (xB – xA) + i( yB – yA). Il résulte que AB a pour affixe zB – zA Exemple: Soit A(-1,3) et B(4,7), alors: zA = -1 + 3i et zB = 4 + 7i zAB = zB – zA = 5 + 4i vocabulaire: L’axe des abscisses est aussi dénommé « axe réel » car il est l’ensemble des points pour lesquels y = 0 L’axe des ordonnées est aussi dénommé « axe imaginaire » car il est l’ensemble des points pour lesquels x = 0 Nombre complexe conjugué: Soit z = x +iy, le conjugué de z est le nombre complexe z = x - iy Produit z * z: z = x + iy, entraîne que z * z = x2 + y2 Inverse d’un nombre réel: z = x + iy, pour déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de 1/z, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué de z 1/z = x/(x2 + y2) – iy/(x2 + y2) Module et argument: coordonnées polaires: (rappels) Etant donné un point o et un vecteur unitaire e1, tout point M du plan distinct de o est repéré par ses coordonnés polaires (r,θ) où le réel strictement positif r est égal à la distance OM et le réel θ est une mesure de l’angle (e1, OM) dans le plan orienté par le repère orthonormal direct (o, e1, e2). Ce point M a pour coordonnées cartésiennes (x, y) tel que x = rcosθ et y = rsinθ Ce point M de coordonnées car tésiennes (x, y) a pour coordonnées polaires (r,θ) tel que r = ((x2 + y2))1/2 et cosθ = x/r et sinθ = y/r Module d’un nombre complexe: Le module du nombre complexe z est le réel positif (z * z)1/2 noté z ou ρ Lorsque z = x +iy alors z = ((x2 + y2))1/2 Argument d’un nombre complexe: L’argument du nombre z est noté arg z = θ modulo 2π avec tel que cosθ = x/ρ et sinθ = y/ρ rappel: tgθ = sinθ/cosθ = y/x Principales opérations sur les modules: z * z’ = z * z’ de même pour la division -z = z z = z zn = z n Principales opération sur les arguments: arg(zz’) = arg(z) + arg(z’) modulo 2π arg(z/z’) = arg(z) – arg(z’) modulo 2π arg(zn) = narg(z) modulo 2π arg(z) = -arg(z) modulo 2π arg(1/z) = -arg(z) modulo 2π arg(-z) = π - arg(z) modulo 2π Ecritures d’un nombre : Forme trigonométrique: z = ρ *(cosθ + isinθ) Forme exponentielle: z uploads/Finance/ c-rt-mise-a-niveau.pdf