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UNIVERSITÉ PROTESTANTE DE LUBUMBASHI FACULTÉ DES SCIENCES ÉCONOMIQUES ET MANAGE

UNIVERSITÉ PROTESTANTE DE LUBUMBASHI FACULTÉ DES SCIENCES ÉCONOMIQUES ET MANAGEMENT LUBUMBASHI COURS DES MATHEMATIQUES FINANCIERES Dispensé par : Professeur Associé John Ndala, Phd Notes de cours destinées aux étudiants de Licence 1 SEM ANNEE ACADEMIQUE 2021-2022 PLAN DU COURS INTRODUCTION GENERALE 1ERE PARTIE : MATHEMATIQUES FINANCIERES A COURT TERME CH. 1. L’intérêt simple CH. 2. L’équivalence des capitaux CH. 3. L’escompte à intérêts simples 2EME PARTIE : MATHEMATIQUES FINANCIERES A MOYEN TERME CH. 3. L’intérêt composé CH. 4. Les annuités 9 OBJECTIFS DU COURS Tout économiste, financier et gestionnaire est confronté au problème d’utilisation rationnelle des ressources. Des lors, faire l’inventaire de ses ressources (c’est-à-dire calculer exactement ses créances et ses dettes) et être capable d’affecter et de placer judicieusement ses ressources doit être un objectif essentiel à atteindre par tout gestionnaire, économiste ou financier. Le présent cours se fixe donc l’objectif de donner quelques types des calculs des opérations commerciales et financières. On peut définir globalement les mathématiques financières «comme l’application des mathématiques aux opérations financières non instantanées (c’est-à-dire faisant intervenir le temps)». Cette discipline fait intervenir principalement des outils issus de l'actualisation, de la théorie des probabilités, du calcul stochastique, des statistiques et du calcul différentiel. Ce cours vise à présenter les différents éléments du calcul financier et d’expliquer la notion de la valeur temporelle de l’argent. Il fait apparaître principalement cinq préoccupations :  La différence entre les différents types d’intérêts (intérêt simple, intérêt composé).  La différence entre les situations d’actualisation et de capitalisation.  La méthode de calcul de la valeur future et la valeur présente d’une somme ou d’une suite d’annuités.  Les grands domaines d’application du calcul financier.  Les tableaux d’amortissement des emprunts. De ce fait, à la fin de ce cours l’étudiant doit comprendre et savoir :  Calculer l’intérêt, l’escompte ;  Calculer l’échéance commune et échéance moyenne, l’équivalence des effets de commerce ainsi que la négociation de ces effets ;  Calculer l’intérêt composé et l’escompte à intérêt composé. 10 PARTIE 1 : MATHEMATIQUES FINANCIERES A COURT TERME Le court terme, en finance, ne dépasse pas l’année. Il se compte, en jours, en mois, en trimestres, etc. Les mathématiques financières, à court terme, se déduisent d’une seule et unique formule. La formule fondamentale de l’intérêt simple : I = C.n.t Calcul de jours a) Suivant les pays on distingue : - L’année commerciale : tous les mois sont comptés à 30 jours et l’année à 360 jours. Le dernier jour du mois est donc toujours considéré comme étant le 30. Cet usage est appliqué en Allemagne, en Suisse, en Scandinavie. - L’année civile : les mois sont comptés à leur juste valeur et l’année a 365 jours ; Cet usage est appliqué en Angleterre et aux USA. - L’année mixte : les mois sont comptés à leur valeur et l’année a 360 jours ; elle est appliquée dans la plupart des pays, dont la RD Congo, la Belgique, la France…. b) Décompte des jours entre deux dates En RD Congo, il est d’usage, dans le calcul des jours entre deux dates, de ne pas tenir compte du 1er jour, mais du dernier. Exemple : Nombre de jours du 14 juillet au 10 septembre : De la date d’un mois à une date différente d’un autre mois, on fait le compte réel des jours qui les sépare. Exemple : du 20 février au 15 mai, il y a : 8jours - Aout : 31 jours - Juillet : du 14 au 31 17 jours - Septembre : 10 jours Total : 58 jours 11 + 31 jours + 15 jours = 84 jours. Ainsi le nombre des jours à compter dans le mois du placement s’obtient en retranchant la date du 20 février du total de jours de ce mois. Dans notre exemple : 28 – 20 = 8 jours. Le nombre de jours à compter dans le mois de retrait est exprimé par la date. Dans notre exemple, c’est 15, c’est-à-dire le 15 mai. De la date d’un mois à la même date d’un même mois, on compte le temps en mois. Exemple : du 25 novembre au 25 avril, il y a donc 5 mois. 12 CHAPITRE 1 L’INTERET SIMPLE 1.1. DEFINITIONS. Le taux d’intérêt simple est l’intérêt que rapporte un FC pendant une période, c’est-à-dire en général, l’année. Ainsi un taux t = 8% = 0,08 veut dire que 1 FC rapporte (ou produit) un intérêt de 0,08 FC pendant une année. De cette définition simple, découle la règle pour calculer l’intérêt produit par un capital C pendant n périodes. En effet il suffit de multiplier le taux d’intérêt t par C et par n, ce qui donne la Formule fondamentale de l’intérêt simple : I : Intérêt produit par C pendant n périodes ; C : capital prêté ; n : nombre d’unités de temps (n années) ; - t : le taux d'intérêt simple, pour une année. Remarque : La formule (1) diffère de la formule qu’on trouve, habituellement, dans certains ouvrages de mathématiques financières, à savoir la formule suivante : En effet, la différence entre les formules (1) et (2) vient du fait que : dans la formule (1), le taux d’intérêt est pris pour sa vraie valeur mathématique, à savoir, par exemple, si t = 7% on prendra t = 0, 07 ; dans la formule (2), le taux d’intérêt n’est pas pris pour sa vraie valeur 13 mathématique, c’est-à-dire que par exemple, pour t = 7% on prendra la valeur t = 7, étant donné que le produit n x C x t est déjà divisé par 100. La formule (1) donne l’intérêt I que l’emprunteur doit débourser, au bout de n années : I =Cx n xt . Le calcul des intérêts simples n’intervient, en principe, que pour le court terme, C’est-à-dire, pour des périodes inférieures à une année (quelques jours ou quelques mois) car, comme nous le verrons, dans la 2è partie, pour des périodes qui dépassent l’année, on calcule, habituellement, des intérêts composés. Dans ces conditions, et pour des durées de court terme, comptées en mois, quinzaines, jours, etc., nous utilisons des formules qui sont déduites de la formule (1) : ¤ Périodes décomptées en mois : Si la durée est exprimée en mois, n mois, par exemple, comme n mois équivalent à (n/12) années, la formule fondamentale (1) devient : ¤ Périodes décomptées en quinzaines : Si la durée est exprimée en quinzaines, n quinzaines, par exemple, comme n quinzaines équivalent à (n/24) années, la formule fondamentale (1) devient : ¤ Périodes décomptées en jours : Si la durée est exprimée en jours, n jours, par exemple, comme n jours équivalent (n/360) années (l’année commerciale étant de 360 jours), la formule fondamentale (1) devient : 14 Les formules des intérêts simples (1), (3), (4) et (5) sont des relations entre les 4 paramètres, I (intérêt simple), C (capital prêté), n (nombres d’unités de temps) et t (taux d'intérêt simple) ; elles permettent, par conséquent, de résoudre quatre problèmes différents : déterminer un paramètre, connaissant les trois autres. Pour ce faire, et dans le cas de durées comptées par exemple en jours, on a recours à l’une des 4 expressions suivantes : Exemple 1 : Calculer l’intérêt simple que produit un capital de 50 000,00 FC placé à intérêt simple, au taux annuel de 7%, du 5 avril au 16 octobre de la même année : On commence par déterminer, d’abord, la durée de placement en nombre de jours : Mois Nombre de jours de placement Avril Mai Juin Juillet Août Septembre Octobre 30 – 5 = 25 jours (on exclue la date initiale) 31 jours 30 jours 31 jours 31 jours 30 jours 16 jours (on inclue la date finale) TOTAL 194 jours On utilise la formule (6) donnant la valeur de l’intérêt I en fonction des autres paramètres : Exemple 2 : Quel capital faut-il placer, au taux d’intérêt simple de 5% l’an, pendant 25 jours pour avoir un intérêt de 350,00 FC ? On utilise la formule (7) donnant la valeur du capital C en fonction des autres paramètres : 15 Exemple 3 : Quel taux d’intérêt simple t faut-il appliquer pour qu’un capital d’un montant égal à 15 000,00 FC prêté pendant 80 jours produise un intérêt de 300,00 FC ? On utilise la formule (8) donnant la valeur du taux d’intérêt t en fonction des autres paramètres : Exemple 4 : Au bout de combien de temps un capital de 10 000,00 FC placé au taux d’intérêt simple de 6,5%, par an, produira un intérêt de 325,00 FC ? On utilise la formule (9) donnant la durée n de placement en fonction des autres paramètres : 1.2. VALEUR ACQUISE ET VALEUR ACTUELLE. 1.2.1. Définition de la valeur acquise. La valeur acquise CA ou Cn, par un capital placé à un taux d’intérêt simple, pendant n périodes est égale au capital placé C augmenté de l’intérêt produit I. La valeur acquise est donnée, par définition, uploads/Finance/ l1-mathematique-financiere.pdf