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MATRICES, GRAPHES ET CHAINES DE MARKOV 115 Matrices, graphes et chaînes de Mark

MATRICES, GRAPHES ET CHAINES DE MARKOV 115 Matrices, graphes et chaînes de Markov : Outils performants de la comptabilité et de la finance Jean-Guy Degos Professeur à l'université de Bordeaux jgdegos@wanadoo.fr La comptabilité peut être considérée comme une partie des mathématiques appliquées, mais l'application des mathématiques à la comptabilité n'est pas toujours simple et claire. Tout d'abord parce que la comptabilité a une structure, peu évidente a priori, d'espace vectoriel à deux dimensions, ensuite parce qu'avec un peu d'ambition, on peut utiliser des mathématiques presque magiques pour rendre la comptabilité plus rationnelle, que ce soit l'algèbre linéaire, les matrices classiques ou les chaînes de Markov un peu moins classiques. On peut même aller encore plus loin, en utilisant les mathématiques des formes optimales, les mathématiques du chaos ou les mathématiques des formes symétriques que sont les solides parfaits. Dans cet article, nous rappellerons comment les techniques mathématiques s'appliquent à la comptabilité en partie double permettant de produire les états financiers de synthèse et aux méthodes de consolidation des bilans et des comptes. Ces deux séries de thèmes, qui faisaient l'objet de directives européennes séparées (4e directive sur les comptes annuels des sociétés de capitaux et 7e directive sur les comptes consolidés des sociétés de capitaux) sont désormais traitées dans une directive comptable unique 2013/34/UE du 26 juin 2013 publiée le 29 juin au journal officiel européen et nous avons profité de cette actualité récente pour faire quelques rappels suggestifs. Mots clés : Chaîne de Markov - Consolidation - Espace Vectoriel - Groupes - Holding - Matrices - Solides pythagoriciens. LA REVUE DU FINANCIER 116 Matrices, graphs and Markov chains: Powerful tools for accounting and finance Accounting can be considered as a part of applied mathematics, but the mathematic applications to accounting are not always clear and simple. First because the accounting structure has an a priori, unexpected structure of two-dimensional vector space, then because with a little ambition, we can use mathematics of almost magical nature to make accounting more rational, whether it be linear algebra, classical matrices or Markov chains which are a little less conventional. We can go even further, using the optimal mathematics shapes, the mathematics of chaos or the mathematics of symmetrical shapes that are Pythagorean solids. In this paper, we recall how mathematical techniques are applied to the double-entry bookkeeping to produce the financial statements and methods and consolidation statements. These two sets of topics, subject to separate European standards (4th Directive on Annual accounts of certain types of companies and the 7th Directive on Consolidated accounts of companies) are now processed in a single accounting Directive 2013/34 / EU of 26 June 2013 published on 29 June 2013 in the Official Journal of EU and we took advantage of these recent news to some suggestive reminders. Keywords: Markov chain - Consolidation - Vector space - Groups - Holding - Matrix - Pythagorean solids. Introduction La comptabilité financière et la finance reviennent sur le devant de la scène. Ces deux disciplines, qui faisaient l'objet de directives européennes séparées (4e directive sur les comptes annuels des sociétés de capitaux et 7e directive sur les comptes consolidés des sociétés de capitaux) sont depuis peu traitées dans une directive comptable unique 2013/34/UE du 26 juin 2013 publiée le 29 juin au journal officiel européen1 et nous avons profité de cette actualité récente pour faire quelques rappels suggestifs sur quelques outils performants que l'on peut appliquer à la comptabilité et à la finance et sur leur origine. On a longtemps considéré que la comptabilité était une partie des mathématiques et les anciens mathématiciens professionnels, les mathematicus incluaient la comptabilité dans leur enseignement. Augustus de Morgan lui-même, en 1846, réservait une partie de son ouvrage Elements of Arithmetic à la tenue des livres (De Morgan, 1846). Cette inclusion de la comptabilité dans le champ des mathématiques est juste, car la comptabilité, notamment la comptabilité classique, utilise les quatre opérations courantes, l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. Donc on peut conclure que la comptabilité c'est de l'arithmétique servant à expliquer des opérations juridiques et économiques. Mais cette approche n'est pas tout à fait juste, car la comptabilité n'est pas seulement du droit et de l'économie utilisant de l'arithmétique. Cependant, si on supprime les mathématiques de la comptabilité, il reste seulement du droit et de l'économie et si on fait abstraction du droit et de l'économie, il reste seulement de l'arithmétique et dans les deux cas la nature profonde de la comptabilité disparait. Si l'on se réfère à l'épistémologie de la comptabilité, elle ne peut exister qu'avec ses deux composantes, mathématique d'une part, économico-juridique d'autre part, comme un nombre complexe qui ne peut exister qu'avec ses deux parties, réelle et complexe. Mais, comme le précise Pierre Lassègue (1962), "la similitude de la comptabilité et des mathématiques est illusoire". Comme nous le verrons dans la première partie, la comptabilité procède à des déductions à partir d'axiomes en respectant certaines contraintes logiques 1 Disponible en anglais sur le site : http://eur-lex.europa.eu/LexUriServ/LexUriServ.do? (On the annual financial statements, consolidated financial statements and related reports of certain types of undertakings, amending Directive 2006/43/EC of the European Parliament and of the Council and repealing Council Directives 78/660/EEC and 83/349/EEC). J.O. European Union, pp. L.182/19 – L.182/76. MATRICES, GRAPHES ET CHAINES DE MARKOV 117 (Bouinot, 1971) mais ces déductions sont limitées et elle doit aller au-delà de ces déductions, car son but ultime est la description de la réalité, et à tout instant elle doit vérifier que son formalisme n'est pas en contradiction avec la réalité. La comptabilité n'est pas seulement, comme le dirait Condillac repris par Léautey et Guilbault (1889) "une science bien faite qui est une langue bien faite". La comptabilité est un langage, c'est-à-dire un contenant qui ne peut exister que s'il existe un contenu qui lui donne sa raison d'être. De plus, l'application des mathématiques à la comptabilité peut être décevante. Zenon Zannetos (1963) note qu'il est très difficile et peu satisfaisant d'évoquer l'application des mathématiques à la comptabilité pour deux raisons principales. D'abord, parce que l'utilisation des mathématiques dans l'enseignement et la recherche comptable a presque été toujours proposé par des auteurs extérieurs à la comptabilité, et ensuite parce que l'application des mathématiques à la comptabilité donne une image superficielle sans profondeur ou sans détail. Les mathématiques théoriques et appliquées n'ont été que très récemment admises en comptabilité et les comptables ont pris conscience de leur pertinence tardivement par rapport à la comptabilité, et souvent elles restent encore du domaine de l'appréciation esthétique. Il y a encore beaucoup à faire pour généraliser l'application de la science mathématique en comptabilité, mais comme la comptabilité en partie double, intrinsèquement, a une structure d'espace vectoriel et qu'elle peut être décrite par des relations et des lois entre les vecteurs et les matrices, il est tout de même possible d'en tirer parti dans certains domaines privilégiés. I - La comptabilité en partie double : une structure d'espace vectoriel à l'histoire tardive Les utilisateurs de la comptabilité n'ont pas l'habitude d'avoir des états d'âme en ce qui concerne les mathématiques : ils utilisent les quatre opérations arithmétiques de base, avec une préférence pour l'addition ou la soustraction, parfois la division ou la multiplication pour calculer des coûts ou des ratios, et ils vont parfois jusqu'à utiliser les exponentielles ou les logarithmes pour les calculs d'actualisation, mais jamais au delà. Ils ne sont pas conscients du fait que la comptabilité a une structure d'espace vectoriel. Les démonstrations et développements les plus complets à ce sujet ont été fait par R. Sterling (1967) et par J. Bouinot (1971). 1- Formalisation des comptes Soit un compte destiné à enregistrer un type d'opération y. L'enregistrement des mouvements est caractérisé par 2 informations, le montant des débits ( Ey) et le montant des crédits ( Ry), E qualifiant les emplois et R les ressources. On peut représenter le compte par un couple ordonné de nombres tel que : Cy = ( Ey ,  Ry), avec Cy  (R +  R +), R étant l'ensemble des nombres réels. Si on veut représenter le solde du compte ci-dessus, il existe trois possibilités : Cy = ( Ey -  Ry, 0) si  Ey >  Ry Cy = (0,  Ry -  Ey) si  Ry >  Ey Cy = (0, 0) si  Ey =  Ry En négligeant la notation des sommes, ont peut représenter les quatre catégories de comptes classiques (actif, passif, charges, produits) de la manière suivante : - Comptes d'actif, ou comptes d'emplois non définitifs : (Aa) : (Aa - Ra) - ou encore (Ea - Ra, 0) puisque Ea > Ra - Comptes de passif, ou comptes de ressources non définitives : (Bp) : (Ep, Rp) - ou encore (0, Rp - Ep) puisque Rp > Ep LA REVUE DU FINANCIER 118 - Comptes de charges ou d'emplois définitifs : (Ge) : (Ee, 0) - Compte de produits ou de ressources définitives : (Gr) : (0, Rr). La formalisation des comptes comme ci-dessus uploads/Finance/ matrices-graphes-et-chaines-de-markov.pdf