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[MATHEMATIQUE GENERALE] PARTIE : MATHS FINANCIERES EXPOSE DU GROUPE I THEME : I

[MATHEMATIQUE GENERALE] PARTIE : MATHS FINANCIERES EXPOSE DU GROUPE I THEME : Intérêts Simples Professeur chargé du cours M. Amadou THIAM Assisté par M. Adama KOUROUMA REPUBLIQUE DE GUINEE Travail-Justice-Solidarité MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE JULIUS NYERERE DE KANKAN FACULTE DES SCIENCES ECONOMIQUES ET DE GESTION DEPARTEMENT ADMINISTRATION DES AFFAIRES LICENCE 1 SEMESTRE 1 MATHS GENERALES EXPOSÉ DU GROUPE 1 AA 1 PLAN INTRODUCTION A LA MATH FINANCIERE A. NOTION D’INTERET B. FORMULE FONDAMENTALE DE L’INTERET SIMPLE C. DUREE DE PLACEMENT EXPRIMEE EN JOURS ; MOIS ; QUINZAINES ; TRIMESTRES D. CALCULS SUR LA FORMULE FONDAMENTALE E. VALEUR ACQUISE PAR UN CAPITAL F. TAUX MOYEN D’UNE SERIE DE PLACEMENT EFFECTUES SIMULTANEMENT G. INTERET PRECOMPTE. TAUX EFFECTIF DE PLACEMENT H. METHODE DES NOMBRES ET DES DIVISEURS FIXES I. EXERCICES D’APPLICATIONS J. EXERCICES PROPOSES MATHS GENERALES INTRODUCTION A LA MATHEMATIQUE FINANCIERE : On peut définir la math fi comme l’application des mathématiques aux opérations financières instantanées (c’est à dire, faisant intervenir le temps). Ces opérations financières se déroulent sur les marchés financiers qui permettent la confrontation de l’offre et de la demande de capitaux. La demande émane de l’Etat, des collectivités locales et des entreprises pour financer leurs investissements ou pour couvrir leurs déficits. L’offre émane principalement des ménages qui assurent leurs consommations futures par l’épargne qu’ils constituent apportent au système financier par le biais des banques et des compagnies d’assurances. Dans le système financier, on rencontre deux types d’acteurs dont les intérêts sont à priori opposés. -L’épargnant (offreur, prêteur, créancier) qui a du capital. -L’entrepreneur (demandeur, l’emprunteur, débiteur) qui n’a pas du capital et veut s’enrichir en employant le capital des autres. Le banquier permet de réconcilier ces deux intérêts et joue un rôle d’intermédiaire en mettent à la disposition de l’entrepreneur le capital de l’épargnant, et en assurant le risque de faillite. En échange de ce risque, il exige de l’entrepreneur qu’il lui verse des intérêts à intervalle de temps, dont il reverse une partie à l’épargnant après déduction de ses frais et commissions. Ce processus nous ramène à la notion de l’intérêt. A. NOTION D’INTERET : Une personne A prête à une personne B une somme d’argent pendant une durée déterminée. Ce service rendu par A (le créancier) à B (le débiteur), cette mise à la mise de B d’un capital suppose, au bénéfice de A, une rémunération appelée intérêt. Par définition : L’intérêt c’est la rémunération du capital pour un prêteur et le coût du capital pour un emprunteur. Type d’Intérêts : Intérêt post compté : c’est l’intérêt payé à l’échéance de l’opération. Intérêt précompté : c’est quand les intérêts sont payés en début de période au lieu d’être payés en fin de la période. Intérêt périodique : c’est quand les intérêts sont payé de période en période. EXPOSÉ DU GROUPE 1 AA 2 EPARGNANT BANQUE Capital ENTREPRENEUR Intérêt Prêt Intérêt - Frais MATHS GENERALES B. FORMULE FONDAMENTALE DE L’INTERET SIMPLE : Le montant de l’intérêt dépend évidemment : -du capital prêté -de la durée du prêt -du taux négocié entre le prêteur et l’emprunteur, fourni par l’intérêt du capital, pendant l’unité de temps généralement l’année. L’intérêt est fonction donc de ces trois paramètres, taux de placement, capital, temps est cependant proportionnel au produit des mesures de ces trois quantités. Si nous désignons par : C en unité monétaire UM (Euro, Eco, Dollars,….) du capital prêté n année, la durée du prêt (ou placement) t le taux d’intérêt et pour un an : l’intérêt I sera donné par la formule : I=c×t ×n 1 ou I= ctn 100 C. DUREE DE PLACEMENT EXPRIMEE EN JOURS ; MOIS ; QUINZAINES ; TRIMESTRES La durée n d’un placement peut s’exprimée en jours, étant donné qu’une année commerciale compte 360j, elle correspond alors à : I=c×t ×n 360 ou I= ctn 36000 en jours La durée n d’un placement peut s’exprimée en mois, étant donné qu’un an compte 12 mois, elle correspond alors à : I=c×t ×n 12 ou I= ctn 1200 enmois La durée n d’un placement peut également être exprimée en quinzaine, étant donné qu’une année compte 24 quinzaines (dans un 1 mois il y’a 2 quinzaines, on a 2 ×12), elle correspond alors à : I=c×t ×n 24 ou I= ctn 2400 enquinzaines La durée n d’un placement peut également être exprimée en trimestre, étant donné qu’une année compte 4 trimestre elle correspond alors à : I=c×t ×n 4 ou I= ctn 400 entrimestres D. CALCULS SUR LA FORMULE FONDAMENTALE La formule générale de calcul de l’intérêt simple met en jeu mes quatre quantités I,C,t,n, qui supposent donc la résolution de quatre problèmes différents, trois d’entre peuvent être connues, le problème consistera à calculer la quatrième. EXPOSÉ DU GROUPE 1 AA 3 MATHS GENERALES La formule fondamentale permet sans difficulté la résolution de tous ces problèmes. Ainsi, lorsque la durée de placement est exprimée en jour par exemple, on écrira : I= ctn 36000❑ ⇔ 36OOO×I =ctn En tirant les différentes quantités une à une, on aura : ❑ ⇒C=36OOO× I tn ;t=36OOO ×I Cn et n=36OOO× I Ct ; E. VALEUR ACQUISE PAR UN CAPITAL : On appelle valeur acquise par un capital placé, le résultat de l’addition à ce capital de l’intérêt qu’il a produit. La valeur acquise est applicable en intérêt post compté puis qu’il s’agit de rembourser le capital prêté et l’intérêt. Notée par Va, la valeur acquise est égale : Va=C+I∨I= ctn 36000 donc ,Va=C+ ctn 36000 Applications : 1) _Calculer l’intérêt fournit et la valeur acquise par un placement de 28.000 € à 9 % du 13 septembre 2018 au 27 février 2019. 2) _La Banque d’investissement KouyatéBank (BIKB) octroi un prêt de 7200 € le 8 Juin 2019 à son Client M. Kourouma à un taux de 8 %. Ce prêt a acquis à l’échéance une valeur de 7288 €. Déterminer à quelle date le prêt a été remboursé par M. Kourouma. Solution : 1) _ Par la formule fondamentale de l’intérêt I= ctn 36000 avec {C=28.000;t=9% Cherchons n Le principe est de compter le nombre des jours qui séparent les dates en ne retenant dans ce calcul que l’une de ces deux dates. La représentation suivante pourra être retenue Septembre : 30 (Nombre de jour dans le mois) −¿13 (date initiale) n = 17 jours Octobre : = 31 jours Novembre : = 30 jours Décembre : = 31 jours Janvier : = 31 jours Du 1er Fév. au 27 Février : en retenant la date finale n= 27 jours Donc n = 17+31+30+31+31+27 = 167 jours I=28000×9×167 36000 =1169❑ ⇒I=1169€ EXPOSÉ DU GROUPE 1 AA 4 MATHS GENERALES Va=C+I ❑ ⇔ Va=28000+1169=29169❑ ⇒ Va=29169€ 2) _ Pour la détermination de la date de remboursement, on peut passer par l’expression de la valeur acquise, dans ce cas on aura : Va=C+I sachant que C = 7200 ; t = 8 % et Va = 7288 Connaissant C et Va on peut trouvant I en posant que : Va=C+I ❑ ⇔ I=Va−C❑ ⇒ I=7288−7200=88❑ ⇒I=88 On rappel que : I= ctn 36000❑ ⇔ 36O00×I =ctn ❑ ⇒n=36OOO×I Ct =36OOO×88 7200×8 =55 n=55 jours Etant donné le 8 juin comme jour de la négociation du prêt, on a : (30 – 8 = 22j), on a : (55 – 22 = 33j) et le mois qui suit le Juin est le mois de Juillet et ce mois compte 31 jours on a également (33 - 31 = 2). Et le mois qui suit le mois de juillet c’est le mois d’Août, ce qui veut dire que c’est le 02 Août la date de remboursement du prêt. F. TAUX MOYEN D’UNE SERIE DE PLACEMENT EFFECTUES SIMULTANEMENT : Cette notion arrive quand une même personne effectue plusieurs placements dans une banque et qu’à une date donnée, elle demande à la banque prêteuse de remplacer l’ensemble de ses taux appliqués à ces placements par un taux unique. Une personne effectue simultanément k placements aux conditions suivantes : Capitaux Taux Durée C1 t1 n1 C2 t2 n2 . . . . . . . . . Ck tk nk EXPOSÉ DU GROUPE 1 AA 5 MATHS GENERALES Les taux n’étant pas t1,t2 , …… , tk n’étant pas égaux entre eux, l’intérêt total de cet ensemble de placements égale à C 1×t 1×n1 36000 + C2×t 2×n2 36000 +…+ Ck×t k ×nk 36000 Nous appellerons le taux moyen de cet ensemble de placement le taux unique T qui, appliqué aux capitaux placés et pour leurs durées respectives, conduise au même intérêt total. Ce taux T est donc donné par la résolution de l’égalité suivante : C1×T ×n1 36000 +C 2×T ×n2 36000 +…+ Ck×T ×nk 36000 =C 1×t 1×n1 36000 +C 2×t 2×n2 36000 +…+Ck ×t k×nk 36000 En s’simplifiant les dénominateurs et en factorisant par T, on a : T (C1n1+ C2n2 + ...... + Cknk) = C1t1n1+ C2t2n2 +………. + Cktknk T=C1×t 1×n1 C1×n1 + C2×t 2×n2 C 2×n2 +…+ Ck×tk×nk Ck ×nk T=∑ i=1 k Ci×ti×∋ ¿ Ci×∋¿ uploads/Finance/ notion-d-x27-interet-simple 1 .pdf