Mathématiques Financières Imade Fakhouri Université Ibn Zohr Ecole Nationale de
Mathématiques Financières Imade Fakhouri Université Ibn Zohr Ecole Nationale des Sciences Appliquées Agadir, Maroc c ⃝Draft date 8 avril 2021 2 Imade Fakhouri: Mathématiques Financières Table des matières 1 Intérêts Simples 5 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Intérêts Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Valeur acquise par un capital (ou valeur future) . . . . 7 1.2.2 Intérêts précomptés - Taux effectif de placement . . . 9 1.2.3 Effet de commerce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.3.1 Escompte commercial à intérêt simple . . . . 12 3 4 Imade Fakhouri: Mathématiques Financières Chapitre 1 Intérêts Simples 1.1 Introduction La notion d’intérêt est centrale dans la relation qu’entretiennent prêteur et emprunteur. L’intérêt est la rémunération d’un prêt d’argent effectué par un agent économique (le prêteur) à un autre agent économique (l’emprun- teur). Lorsqu’une personne (physique ou morale) emprunte de l’argent à une autre, elle achète cet emprunt. Donc l’intérêt est le coût de cet emprunt pour une durée et selon des modalités déterminées. Inversement, c’est le prix de l’argent que vous avez et que vous prêtez pour un certain temps. L’origine du coût de l’argent est double : Risque de défaillance ou de défaut : c’est le risque que le prêteur (créancier) ne soit pas remboursé par son débiteur (emprunteur). La prime de risque (ou la rémunération de l’opération de prêt)doit donc être suffisamment importante pour inciter le prêteur à prendre le risque. La prime de risque est variable en fonction de la confiance accordée à l’emprun- teur, de la durée du placement et de l’anticipation de l’inflation. Le risque de défaillance dépend fortement de la probabilité de défaut du débiteur, et de l’aversion au risque du prêteur (choisir entre plusieurs possibilités d’investissement celui qui minimise son risque de perte, plutôt que celui qui offre les meilleures perspectives de gain). Perte de liquidité : pendant toute la durée du prêt, le prêteur n’a pas accès à l’argent qu’il a donné à son débiteur. La rémunération du prêt lui 5 6 Imade Fakhouri: Mathématiques Financières donne donc une compensation pour son abandon temporaire du droit d’uti- lisation de l’argent : l’intérêt rémunère le coût de la perte de liquidité. Le montant de l’intérêt va varier avec : — l’offre et la demande de crédit ; — la durée du prêt ; — le risque de défaillance ; — l’inflation. 1.2 Intérêts Simples Opérations de capitalisation : Les opérations de capitalisation ont deux dimensions : — le temps : la durée de l’opération ; — le rendement/coût de l’argent : le taux auquel sera rémunéré le prêteur d’argent pendant la durée de l’opération. Définition 1.2.1 L’intérêt est dit simple s’il est proportionnel au temps de placement et à la somme prêtée. Ainsi, les intérêts ne s’ajoutent pas au capital pour former ensuite intérêts ("intérêts composés ») Remarque 1.2.1 L’intérêt simple est utilisé pour les opérations à court terme (moins de 1 an) : ce sont les opérations du marché monétaire, par exemple le marché interbancaire ou le marché des TCN (Titres de Créances Négociables) : certificats de dépôt / billets de trésorerie / BMTN (Bons à Moyen Terme Négociables) / bons du Trsor. On note : • C0 le capital placé. • r% = r 100 le taux d’intérêt annuel. Formule fondamentale : On place une somme C0 pendant j jours au taux d’intérêt annuel r : par convention, dans les banques, une année commerciale fait 360 jours (on parle d’intérêts commerciaux) alors qu’une année civile fait 365 jours (pour les prêts à courte durée, il faut compter effectivement les jours, en ne retenant qu’un des deux jours entre la date du début et la date de fin du prêt). Imade Fakhouri: Mathématiques Financières 7 • L’intérêt commercial I rapporté par cette somme est : I = C0 × r × j 360 • L’intérêt civil I′ rapporté par cette somme est : I′ = C0 × r × j 365 Exemple 1.2.1 La banque vous prête C0 = 1 500 000 DH sur 73 jours au taux annuel r = 2, 1%. Les intérêts commerciaux dus à la banque sont égaux à I = 1500000 × 2, 1 100 × 73 360 = 6387, 50 DH. Cependant, les intérêts civils devraient en fait être de I′ = 1500000 × 2, 1 100 × 73 365 = 6300 DH. L’année commerciale de 360 jours est donc avantageuse pour la banque ! Si C0 est placé pendant pendant m mois au taux d’intérêt annuel r. L’intérêt I est : I = C0 × r × m 12. On peut aussi imaginer que le capital C0 est placé pendant plusieurs années, mais que les intérêts sont alors versés sur un autre compte que C0. L’intérêt I rapporté par ce placement est : alors : I = C0 × r × n. 1.2.1 Valeur acquise par un capital (ou valeur future) Valeur acquise : Définition 1.2.2 La valeur acquise d’un capital est le montant dont dispo- sera une personne investissant un capital initial pour une certaine durée et à un certain taux au terme de l’opération. 8 Imade Fakhouri: Mathématiques Financières Soit Cj la valeur acquise par un capital C0 placé j jours au taux d’intérêt (commercial) annuel r% Cj = C0 + I = C0 1 + r · j 360 . Inversement, un capital Cj disponible au bout de j jours admet une valeur actuelle (ou présente) C0 telle que C0 = Cj 1 + r · j 360 . La 1ère formule permet également de calculer le taux d’intérêt ou le nombre de jours de placement r = Cj −C0 C0 360 j et j = Cj −C0 C0 360 r Exemple 1.2.2 1. Un capital de 7000 Dh placé du 3 juin au 25 octobre a produit un intérêt de 49 Dh. Calculer le taux d’intért (commercial) proposé par la banque. 2. La valeur acquise d’un capital C0 placé au taux de 3, 5% pendant 63 jours est 281715 Dh. Calculer C0 3. Un capital de 150000 Dh prêté le 22 mars 2018 à 8% (intérêts simples commerciaux) a une valeur acquise à la fin du prêt égale à 152200 Dh. Quelle est la durée (en jours) du prêt ? A quelle date ce prêt a-t-il été remboursé ? Solution : 1. Il y a j = 28 + 31 + 31 + 30 + 25 −1 = 144 jours entre le 3 juin et le 25 octobre (on compte le premier ou le dernier jour, mais pas les deux) : donc r = 7049 7000 −1 × 360 144 = 49 7000 × 360 144 = 0.0175, soit 1, 75%. 2. C0 = 281715 1+0,035× 63 360 = 280000 Dh. 3. Soit j la durée du prêt en jours, on a C0 = 150000 Dh et Cj = 152200 Dh. On a : j = 2200 150000 360 0,08 = 66 jours. Le prêt a été remboursé le 27 mai (9 j en mars, 30j. en avril, 27j. en mai). Imade Fakhouri: Mathématiques Financières 9 1.2.2 Intérêts précomptés - Taux effectif de placement Définition 1.2.3 En général, lorsqu’on emprunte de l’argent, on verse des intérêts à notre créancier soit au moment de rembourser la dette, soit le plus souvent périodiquement. Mais il arrive aussi que, lorsque les emprunts courent sur une durée brève (moins d’un an), ces intérêts soient versés au moment même de l’emprunt (c-à-d le jour de la conclusion du contrat de prêt) : l’emprunteur reçoit de la part du préteur le capital diminué des intérêts. On parle alors d’intérêts précomptés. Définition 1.2.4 Les fonds engagés dans ce cas procurent au prêteur un taux de placement supérieur au taux annoncé qui sert de calcul de l’intérêt. Ce taux de placement supérieur est encore appelé taux de placement effectif. C’est par exemple le cas quand un effet de commerce est escompté. C’est aussi le mode de calcul utilisé pour la plupart des titres à court terme émis sur le marché des titres de créances négociables (TCN). Intérêts simples précomptés et postcomptés : Lors d’un emprunt à intérêts simples, l’intérêt peut être remboursé en début ou en fin d’emprunt. • Lorsque l’intérêt est payé en fin d’emprunt, l’intérêt est dit post- compté : l’emprunteur dispose de C0 en début d’emprunt et rembourse (1 + r × n) × C0, en fin d’emprunt. • Lorsque l’intérêt est payé en début d’emprunt, l’intérêt est dit pré- compté : l’emprunteur emprunte C0 en début d’emprunt mais reçoit C0 −I = (1 −r × n) × C0, et rembourse uploads/Finance/ polycopie-mathfi.pdf
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- Publié le Nov 20, 2022
- Catégorie Business / Finance
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