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Ds2 2017 CPGE Moulay Youssef D S PCSI h La présentation la lisibilité la qualité de la rédaction la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l ? appréciation des copies Exercice Soient a b c et d quatre nombres comp

CPGE Moulay Youssef D S PCSI h La présentation la lisibilité la qualité de la rédaction la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l ? appréciation des copies Exercice Soient a b c et d quatre nombres complexes Résoudre le système S dans C F F F F x y z t a F F F F F F F F S x iy ?? z ?? it x ??y z ??t b c F F F F F F x ?? iy ?? z it d Application Calculer les sommes n A k n ?? B k n k n k n ?? C k n ?? D k n k n k avec n k est le coe ?cient de binôme problème Soient a et b deux réels positifs tels que a et b a Un animal se déplace en ligne droite en faisant des bonds de longueur a systématiquement Il y a sur son chemin un trou de longueur b a Expliquer pourquoi l ? animal tombera forcément dans le trou b Expliquer pourquoi le résultat précédent peut s ? énoncer avec des quanti ?cateurs ?? et ?? de la manière suivante ??x ?? R ??n ?? N tel que na ?? x x b c Prouver la proposition précédente Prouver que inf et inf Q ? Soit G ? R On dit G est un groupe si et seulement si F F F F F F ??G ??x ?? G ??x ?? G F F F F ??x ?? G ??y ?? G x y ?? G a Montrer que si G est un groupe et x ?? G alors pour tout n ?? Z nx ?? G En notant nZ nk k ?? Z indiquer en justi ?ant quels ensembles dont les groupes parmi les ensembles de R suivant N Q ?? R Z Pour ceux qui sont des groupes que vaut la borne inférieure de la partie positive c ? est à dire déterminer inf G ?? ? Distinguer alors deux catégories de groupes Pr ESSAMET Mahmoud CCPGE Moulay Youssef D S PCSI b Montrer que pour tout r rZ est un groupe On suppose que G et on note r inf G ?? ? a On suppose ici que r Montrer si x ?? G et x r alors x r En déduire que r ?? G puis G rZ b On suppose maintenant que r En utilisant la question montrer que ?? ??x ??g ?? G tel que g ?? x x En déduire que G est dense dans R c Conclure Application Soit ?? R Q Montrer que Z n m n m ?? Z dense dans R Pr ESSAMET Mahmoud C