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Master 1` ere année de Mathématiques CMI, Université de Provence Année 2010-201

Master 1` ere année de Mathématiques CMI, Université de Provence Année 2010-2011 Analyse Numérique des EDO et des EDP - Projet A rendre au plus tard le jour de l’examen ﬁnal, en Janvier 2011. • Ce qui vous est demandé : – Rédiger les réponses aux questions théoriques de l’énoncé en les illustrant, le cas échéant, par les résultats numé- riques obtenus par des programmes Scilab. – Fournir également (par e-mail) vos programmes Scilab (scripts et fonctions). On fera un programme différent pour chacune des deux parties de l’énoncé. • Conseils importants : – Lire tout le sujet avant de commencer. – Avant de vous lancer dans la programmation, écrire sur papier : – Un canevas rapide de ce que vous devez mettre dans votre programme principal et dans quel ordre (initialisation, calcul proprement dit, sortie numérique ou graphique des résultats, etc ...). – La liste des variables principales que vous allez utiliser, en précisant la taille des vecteurs et des matrices pour éviter les (très fréquentes) erreurs dans les indices ... – Les fonctions annexes que vous devrez éventuellement programmer. – Ne pas hésiter à utiliser les lignes de commentaires dans Scilab pour bien signaler les différentes parties du pro- gramme, la signiﬁcation des variables, etc ... • Les deux parties du projet sont totalement indépendantes ! Partie I - Un peu de cinétique chimique I.1 Introduction Pendant de nombreuses années, les chimistes ont cru que, dès que l’on fait réagir un certain nombre de composants entre eux, deux types de comportement pouvaient survenir : ou bien le système est très instable et s’emballe (sous la forme d’une explosion par exemple ...) ou alors le système évolue vers un état d’équilibre chimique dans lequel les proportions de chacun des constituants restent constantes au cours du temps. Ce n’est qu’au milieu du 20ème siècle que l’existence de réactions chimiques présentant un comportement cyclique pé- riodique a été prouvée 1. Le but de cette partie est d’étudier un modèle mathématique rendant compte de tels phénomènes. I.2 Rappels de cinétique chimique On note une réaction chimique élémentaire irréversible sous la forme α1A1 + α2A2 + ... k − − − − →β1B1 + β2B2 + ... (1) Les Ai sont les réactifs, les Bi sont les produits 2 et les coefﬁcients entiers positifs αi, βi sont appelés coefﬁcients stoe- chiométriques de la réaction, ils mesurent le nombre de molécules de chaque réactif nécessaire pour que la réaction ait lieu et le nombre de produits obtenus. Le nombre k au-dessus de la ﬂèche désigne la constante cinétique de la réaction et sert à établir la dynamique temporelle de celle-ci. De façon plus précise, cette dynamique est régie par la loi d’action de masse qui dit que la vitesse d’avancement de la réaction est proportionnelle aux concentrations de tous les réactifs (comptés autant de fois que ne l’exige le coef- ﬁcient stoechimétrique associé). Ainsi, en supposant le volume, la température, la pression constante dans le dispositif expérimental, le nombre moyen de réactions qui vont se produire durant un petit intervalle de temps ∆t > 0 va être de la forme ∆t k[A1]α1[A2]α2..., où k est la constante cinétique indiquée sur (1) et où on a noté [·] la concentration d’une espèce dans la solution. 1. En supposant que la réaction (1) ne concerne que deux réactifs A1, A2 et deux produits B1, B2, ces quatre consi- tuants étant distincts, justiﬁer que l’évolution en temps de la réaction est décrite par les équations différentielles 1. Voir par exemple : http://www.youtube.com/watch?v=Ch93AKJm9os ou encore http://www.youtube.com/watch?v= 8YIhTn-GY3c 2. Rien n’empêche un constituant d’être à la fois un réactif et un produit, on parle alors de catalyseur. suivantes                        d[A1] dt = −α1k[A1]α1[A2]α2, d[A2] dt = −α2k[A1]α1[A2]α2, d[B1] dt = β1k[A1]α1[A2]α2, d[B2] dt = β2k[A1]α1[A2]α2. 2. Dans toute la suite on s’intéresse à une réaction chimique complexe composée de quatre réactions élémentaires simultanées, mettant en jeu 6 composants notés A, B, D, E, X et Y :                A k1 − − − − − →X, B + X k2 − − − − − →Y + D, 2X + Y k3 − − − − − →3X, X k4 − − − − − →E. (2) On suppose que les concentrations [A] et [B] sont maintenues constantes (par un apport extérieur de la part de l’expérimentateur par exemple). Ces deux concentrations sont donc maintenant des paramètres du modèle. (a) Ecrire le système d’équations différentielles ordinaires régissant l’évolution des quatre concentrations res- tantes [X], [Y ], [D], [E]. (b) Expliquer pourquoi l’étude de ce système peut simplement se ramener à l’étude d’un système de deux équa- tions à deux inconnues [X] et [Y ]. Ecrire le système correspondant. (c) Le système obtenu dans la question précédente dépend de nombreux paramètres. Pour en simpliﬁer l’étude qualitative, on va essayer de faire ressortir les paramètres les plus importants. Pour cela, on va effectuer des changements de variable afﬁnes. Plus précisément, on va chercher les fonctions t 7→[X](t) et t 7→[Y ](t) sous la forme [X](t) = αx(γt), [Y ](t) = βy(γt), où α, β, γ sont des paramètres réels et s 7→x(s) et s 7→y(s) sont les nouvelles fonctions inconnues. Montrer que l’on peut choisir les nombres α, β et γ (en fonction des paramètres initiaux du modèle) pour que les fonctions x et y vériﬁent le système ( x′ = a + x2y −(b + 1)x y′ = bx −x2y, (3) où les seuls paramètres restant sont maintenant a et b (qu’on calculera explicitement en fonction des para- mètres initiaux du modèle). Ainsi, toute la dynamique de la réaction chimique est décrite par le système (3) qui ne comporte plus que 2 paramètres. I.3 Etude mathématique du système réduit Dans cette question on s’intéresse à l’étude mathématique du système (3) et en particulier au comportement qualitatif des solutions en fonction des valeurs des paramètres a et b. On se donne dans toute la suite une donnée de Cauchy (x0, y0) au temps t = 0 pour ce système 3. On supposera x0 ≥0 et y0 ≥0 (c’est raisonnable vu que ce sont des concentrations). On notera que les paramètres a et b obtenus précédemment sont aussi des nombres positifs. 1. Montrer que le problème de Cauchy au temps 0 associé au problème (3) admet une unique solution maximale dont on notera J l’intervalle de déﬁnition et J+ = J ∩[0, +∞[. 2. On va montrer dans cette question que x et y restent positives sur J+. (a) Montrer qu’il existe ε > 0 tel que x(t) > 0 pour tout t ∈]0, ε]. On pourra séparer le cas x0 > 0 du cas x0 = 0. (b) On suppose que la fonction x prend des valeurs négatives ou nulles sur J+\{0}. On introduit alors l’ensemble S = {t > 0, tel que t ∈J+, et x(t) = 0}. i. Montrer que S est non vide. 3. Pour des raisons de commodité on note à nouveau t la variable de temps qui s’appelait s dans la partie précédente ii. Montrer que t∗def = inf S > 0. iii. Montrer que x(t∗) = 0 et que x′(t∗) > 0. iv. En déduire qu’il existe 0 < t1 < t∗tel que x(t1) = 0. Conclure. (c) On suppose y0 = 0. i. Montrer que si x0 > 0 alors il existe ε′ > 0 tel que y(t) > 0 pour tout t ∈]0, ε′]. ii. Montrer que si x0 = 0, alors y′′(0) > 0 et montrer à nouveau l’existence de ε′ > 0 comme la question précédente. (d) On suppose que la fonction y prend des valeurs négatives ou nulles sur J+\{0}. On introduit alors l’ensemble S′ = {t > 0, tel que t ∈J+, et y(t) = 0}. i. Montrer que S′ est non vide. ii. Montrer que t∗ def = inf S′ > 0. iii. Montrer que y(t∗) = 0 et que y′(t∗) > 0. iv. En déduire qu’il existe 0 < t2 < t∗tel que y(t2) = 0. Conclure. Dans toute la suite, on supposera que x0 > 0 et y0 > 0, ce qui n’enlève rien à la généralité de l’étude d’après ce qu’on vient de démontrer. 3. On veut établir dans cette question que x et y sont bornées sur J+. Pour cela, on pose K0 = min ³ x0, a b+1 ´ , on choisit un δ > 0 tel que δ < K0, puis on pose K1 = max ³ y0, b K0−δ, x0 + y0 −a ´ , et on déﬁnit la région suivante du plan (x, y) : R = {(x, y), x ≥K0 −δ, 0 ≤y ≤K1 + δ, x + y ≤K1 + δ + a} . (a) Dessiner l’ensemble R. (b) Montrer que (x0, y0) ∈ ◦ R. (c) On introduit l’ensemble S = uploads/Finance/ projet-1011 1 .pdf