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MAT2.1 Rappel Mathématique Microéconomie 3-851-84 I. Fonctions à une seule vari

MAT2.1 Rappel Mathématique Microéconomie 3-851-84 I. Fonctions à une seule variable • QUELQUES RÈGLES DE DÉRIVATION (rappel) 1. Multiplication de deux fonctions x d u d v + x d v d u = ) v u ( x d d • Exemple: x = u 2 1 + x 2 = v ] x 2 x [ x d d 2 ) 1 ( + • = x 2 x 2 + 2 x 2 • + • ) 1 ( = x x 6 = x x 4 + x 2 2 2 2 2 2 + + 2. Division de deux fonctions . v dx dv u - dx du v = v u dx d 2 • •       Exemple: x = u 2 1 + x 2 = v         + x 2 x dx d 2 1 = ) + x 2 ( ) 2 ( x - x 2 ) + x 2 ( 2 2 1 1 • MAT2.2 = ) + x 2 ( x 2 + x 2 = ) + x 2 ( x 2 - x 2 + x 4 2 2 2 2 2 1 1 3. Règle de chaîne ] ) u ( f [ dx d = dx du ] ) u ( f [ u d d • Exemple: u = ) u ( f , + x 2 = u 2 1 ] ) + x 2 ( [ x d d 2 1 = ) + x 2 ( 4 = 2 ) + x 2 ( 2 1 1 • • OPTIMISATION (sans contrainte) Soit ) (x f la fonction que l’on cherche à optimiser. Condition de premier ordre (CPO) : 0 )] ( [ * = x f dx d (condition nécessaire) Condition de second ordre (CSO) : 0 )] ( [ * 2 2 < x f dx d pour un maximum : 0 )] ( [ * 2 2 > x f dx d pour un minimum. • FONCTIONS CONCAVES, QUASI CONCAVES, CONVEXES, QUASI CONVEXES Les théories du consommateur et du producteur que nous allons étudier font référence à des fonctions d'utilité et de production sur lesquelles certaines hypothèses sont faites. Ces hypothèses reposent, entre autres, MAT2.3 sur les notions de concavité et de convexité des fonctions. Définition: Une fonction f(x) est une fonction convexe si, pour tous points x1, x2 de son domaine et pour tout , 1 < < 0 , λ λ . ) x ( f ) - 1 ( + ) x ( f ) x ) - 1 ( + x ( f 2 1 2 1 λ λ λ λ ≤ (Une fonction est strictement convexe si la dernière inégalité est stricte, à savoir, ) x ( f ) - 1 ( + ) x ( f < ) x ) - 1 ( + x ( f 2 1 2 1 λ λ λ λ et ) x x 2 1 ≠ . Similairement, une fonction concave est définie de la même manière mais le sens de l'inégalité est renversé. Exemples: x 1 λx1 + (1 - λ)x2 x2 f(x1) f(x2) f(x) x x1 λx1 + (1 - λ)x 2 x2 x f(x1) f(x2) f(x) λf(x1)+(1-λ)f(x 2) f(λx1+(1-λ)x 2) f(λx1+(1-λ)x2) λf(x1)+(1-λ)f(x2) Fonction convexe Fonction concave MAT2.4 Définition: Une fonction f(x) est quasi convexe si, pour tous points x1 , x2 de son domaine, on a 0<λ<1 ou, de manière équivalente: } { ) ( ), ( max ) ) 1 ( ( 2 1 2 1 x f x f x x f ≥ − + λ λ Similairement f(x) est quasi concave si ou, de manière équivalente: ) ( ) ) 1 ( ( ) ( ) ( 2 2 1 2 1 x f x x f x f x f ≤ − + ⇒ ≤ λ λ ) ( ) ) 1 ( ( ) ( ) ( 1 2 1 2 1 x f x x f x f x f ≥ − + ⇒ ≤ λ λ } { ) ( ), ( min ) ) 1 ( ( 2 1 2 1 x f x f x x f ≥ − + λ λ MAT2.5 Exemples: • DIFFÉRENTIELLE TOTALE Soit . ) x ( f = y Alors dx ) x ( ’ f = dy est la différentielle totale et on a y dy ∆ ≠ , i.e. dy est une approximation de . ) x ( f - ) x + x ( f = y ∆ ∆ x1 λx1 + (1 - λ)x2 x2 f(x 1) f(λx1 + (1 - λ)x2) f(x 2) f(x) x x 1 λx1 + (1 - λ)x 2 x2 x f(λx1 + (1 - λ)x2) f(x1) f(x2) f(x) Fonction Quasi Concave Fonction pas Quasi Concave MAT2.6 Graphiquement: dy = dx ) x ( ’ f = pente de la tangente en x • dx = AB = CB CB AB • AB = . y dy ∆ ≈ II. Fonctions à deux ou plusieurs variables • DÉRIVÉES PARTIELLES Les fonctions avec lesquelles nous allons travailler sont, en général, continues, dérivables et ont des dérivées partielles de premier ordre et de second ordre qui sont continues. Il faut donc savoir les calculer leurs dérivées partielles et aussi les interpréter → Exemples de fonctions usuelles : 3 / 2 2 3 / 1 1 x x u = y= f(x) x x X+∆x f(x) f(x+∆x) A B C dy ∆y ∆x dx MAT2.7 ny nx u l l 3 2 + = → Calcul des dérivées partielles Exemple : Soit la fonction de production : 2 2 3 2 36 L K KL Q − − = L Q ∂ ∂ = L K 6 36 − (dérivée partielle de premier ordre par rapport à L) K Q ∂ ∂ = K L 4 36 − (dérivée partielle de premier ordre par rapport à K) 2 2 L Q ∂ ∂ =       ∂ ∂ ∂ ∂ L Q L = - 6 (dérivée partielle de second ordre par rapport à L) 2 2 K Q ∂ ∂ =       ∂ ∂ ∂ ∂ K Q K = - 4 (dérivée partielle de second ordre par rapport à K) K L Q ∂ ∂ ∂2 =       ∂ ∂ ∂ ∂ K Q L =       ∂ ∂ ∂ ∂ L Q K = L K Q ∂ ∂ ∂2 = 36 (dérivée partielle croisée de second ordre) → Les principales règles de dérivation s’appliquent : 1. Produit de deux fonctions ( ) v u x • ∂ ∂ = x u v x v u ∂ ∂ + ∂ ∂ ( ) v u y • ∂ ∂ = y u v y v u ∂ ∂ + ∂ ∂ Exemple: 2 x u = y x v + = 2 MAT2.8 [ ] ) 2 ( 2 y x x x + • ∂ ∂ = x y x x 2 ) 2 ( 2 2 • + + • = xy x x 2 4 2 2 2 + + = xy x 2 6 2 + [ ] ) 2 ( 2 y x x y + • ∂ ∂ = 0 ) 2 ( 1 2 • + + • y x x = 2 x 2. Quotient de deux fonctions       ∂ ∂ v u x = 2 v x v u x u v ∂ ∂ • − ∂ ∂ •       ∂ ∂ v u y = 2 v y v u y u v ∂ ∂ • − ∂ ∂ • Exemple: 2 x u = y x v + = 2         + ∂ ∂ y x x x 2 2 = 2 2 ) 2 ( 2 2 ) 2 ( y x x x y x + • − • + = 2 2 2 ) 2 ( 2 2 4 y x x xy x + − + = 2 2 ) 2 ( 2 2 y x xy x + +         + ∂ ∂ y x x y 2 2 = 2 2 ) 2 ( 1 0 ) 2 ( y x x y x + • − • + = 2 2 ) 2 ( y x x + − 3. Règle de chaîne [ ] ) (u f x ∂ ∂ = [ ] x u u f du d ∂ ∂ • ) ( [ ] ) (u f y ∂ ∂ = [ ] y u u f du d ∂ ∂ uploads/Finance/ rapmathe.pdf