Université de Lille Faculté des Sciences et Technologies Année 20202021 Dépa
Université de Lille Faculté des Sciences et Technologies Année 20202021 Département de Mécanique Licence de Mécanique Semestre 5 Parcours Sciences Mécaniques et Ingénierie Statique des Structures Devoir surveillé Novembre 2020 Aucun document ni appareil électronique autorisé Durée : 2 heures A lire très attentivement Il sera tenu grand compte du soin apporté à la rédaction. Il est rappelé qu'il est toujours béné que de lire l'intégralité du questionnaire avant de traiter un exercice donné. Exercice 1 A j B O X 0 Y 0 Z 0 G R a y o n = a z x y F FIG. 1 On considère une poutre en quart d'anneau AB, de rayon a ( gure 1). Elle est liée à un bâti en A et en B respectivement au moyen d'une articulation et d'un appui simple de normale − → eY0. Par ailleurs, elle supporte une force ponctuelle − → F = F− → eX0 exercée en B. 1. Les réactions du bâti en A et en B sont : − → R A = XA− → eX0 + YA− → eY0 , − → R B = YB− → eY0 Déterminer-les par l'équilibre global. 2. Préciser le vecteur courbure − → c . 3. Ecrire les équations locales vectorielles d'équilibre dans le cas général d'une poutre courbe. 4. En déduire les équations qui régissent les sollicitations à prendre en compte, à savoir N, Ty et Mz. On eectuera le changement de variable x = aφ qui entraîne pour un scalaire Y : dY dx = 1 a dY dφ 1 5. Donner les solutions générales des équations précédentes. On notera C1, C2 et C3 les constantes d'intégration dont la détermination n'est pas demandée à ce stade. 6. Ecrire les conditions en B. En déduire les trois constantes d'intégration mentionnées pré- cédemment. 7. Ecrire les conditions en A. Véri er qu'elles sont satisfaites. Exercice 2 Première partie Une poutre droite ACB, élancée, est encastrée en A dans un bâti ( gure 2). Ses caractéris- tiques sont : module d'Young E et moment d'inertie Iz. Elle est soumise sur toute sa longueur à une force répartie de densité − → q = −q⃗ ey, et en C à une force ponctuelle − → P = −P⃗ ey. 1. Déterminer les sollicitations Ty et Mz en tout point de la poutre par l'équilibre global. 2. Rappeler l'ensemble des équations (relations déplacements-déformations sous forme vecto- rielle, lois de comportement) qui régissent l'état de déformation (déformation, déplacement) d'une poutre droite. Préciser en quoi consiste l'hypothèse de poutre élancée. 3. Déduire des équations précédentes celles qui régissent les déplacements à prendre en compte, à savoir Uy et βz. 4. Déterminer les déplacements en question en tout point de la poutre. On énoncera avec précision les conditions aux limites. 5. Déduire des résultats précédents le déplacement transversal en C que l'on exprimera en fonction de E, Iz, a, L, P et q. z x y q P L a A B C FIG. 2 Seconde partie La force ponctuelle − → P est supprimée. Par ailleurs, un appui simple de normale ⃗ ey est ajouté en B ( gure 3). La précontrainte d est faible devant la longueur de la poutre. On se propose d'étudier cette nouvelle structure en se basant sur l'étude précédente. 1. Montrer que le degré d'hyperstaticité h de la structure est égal à 1. On choisira comme inconnue hyperstatique RB, la composante suivant ⃗ ey de la réaction en B. 2. Déterminer l'inconnue hyperstatique en question. 2 z x y A B d FIG. 3 3 uploads/Finance/ sds-2020-2021-ds.pdf
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- Publié le Mai 08, 2021
- Catégorie Business / Finance
- Langue French
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