Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Université de Liège Faculté des Sciences Appliquées SIMULATION ET OPTIMALISATIO

Université de Liège Faculté des Sciences Appliquées SIMULATION ET OPTIMALISATION STATIQUE DES SYSTÈMES INDUSTRIELS Succession Prof. B. Kalitventzeff G. Heyen, Maître de conférence Laboratoire d'Analyse et de Synthèse des Systèmes Chimiques Chapitre 1 - 1.1 - CHAPITRE 1 SIMULATION STATIQUE DES SYSTEMES CHIMIQUES Introduction Nous allons considérer l’étude du comportement d’un ensemble d’appareils (un “système”) par simulation. Nous considérerons que nous disposons d’un modèle de chacun des appareils, c’est-à-dire d’un moyen de calculer l’état des flux sortant d’un appareil lorsque ses alimentations sont connues. La simulation statique des systèmes chimiques induit systématiquement des problèmes de convergence. Prenons comme exemple le schéma très simple ci-dessous représentant une petite partie d’un procédé chimique. Pour pouvoir résoudre les équations relatives à une unité (un appareil), il nous faut connaître les flux d’entrée de cette unité. Or, s’il y a des boucles, nous ne connaissons pas nécessairement tous les flux d’entrée : pour calculer l’échangeur HE1, il faut connaître le flux 2. Celui-ci dépend successivement des flux 10, 8, 5 et 6, 4. Donc il nous faut les flux 4 et 6 pour connaître le flux 2. Or le flux 4 est obtenu par la résolution de l’échangeur HE1. Pour résoudre ce problème, on devra réaliser une “coupure” de flux, c’est-à-dire que l’on devra estimer un des flux puis calculer toutes les unités de la série et enfin utiliser une méthode de promotion de convergence afin d’obtenir une meilleure estimation des grandeurs concernant le flux que l’on a coupé. Figure 1.1 Chapitre 1 - 1.2 - Par exemple, si l’on coupe le flux 2, on pourra calculer l’échangeur HE1, puis le réacteur, l’échangeur HE2, le séparateur et le diviseur. On obtiendra ainsi de nouvelles valeurs pour le flux 2. On peut alors effectuer la convergence sur le flux 2. Si on considère un schéma plus complexe, il n ’est pas évident de déterminer directement les flux à couper de manière à avoir un nombre minimum de coupures (pour limiter les problèmes de convergence). Méthode de Motard1 Une méthode pour déterminer le nombre minimum de coupures a été mise au point par MOTARD. Nous utiliserons un exemple afin d’illustrer cette méthode. 4 1 2 3 (2) (3) (1) (4) (5) (6) 5 6 y 1 y 12 y 23 y 34 y 42 y 52 y 43 y 45 y 6 y 56 (7) (8) (-) (-) Figure 1.2 La figure ci-dessus représente un système composé de 6 unités interconnectées entre elles directement ou par l’intermédiaire de “recyclages ”. Nous pourrions rencontrer également des by-pass. Chaque flèche représente un flux dirigé d’une certaine grandeur (matière, énergie,...) qu’il faut déterminer. Pour chaque unité, il existe un modèle pouvant être résolu permettant de calculer les flux de sortie en fonction des entrées. Dans le contexte du système, elle constitue un élément connu. Nous considérons que le système est en régime, c’est-à-dire qu’il n’y a pas d’accumulation. S’il y a une transformation chimique (réacteur par ex.), il est nécessaire d’introduire un flux fictif exprimant la quantité de produits formée et la quantité de réactifs consommée. Nous n’envisagerons pas ici ce cas de façon explicite. Avant de résoudre le système ci-dessus, nous allons tout d’abord introduire la notion de graphe dual et énoncer quelques règles systématiques qui nous permettront de résoudre le système en organisant la séquence de calcul de manière optimale. Le graphe dual 1 Barkley R.W., Motard R.L., “Decomposition of Nets”, The Chemical Engineering Journal, 1972, 3, 265-275. Chapitre 1 - 1.3 - Le graphe dual est construit à partir du flow-sheet du système que l’on veut résoudre. La grande différence entre ces deux types de graphes se situe au niveau des significations des branches et des noeuds. Les branches (noeuds) du flow-sheet deviennent les noeuds (branches) du graphe dual. Figure 1.3 Flow-sheet Figure 1.4 Graphe dual Les deux figures ci-dessus montrent la relation existant entre un flow-sheet et un graphe dual. Règles de Motard Une règle générale consiste à : COUPER LE FLUX INTERVENANT DANS LE PLUS GRAND NOMBRE DE CYCLES Pour trouver ce flux de manière systématique, nous considérons le graphe dual du flow-sheet et nous appliquerons les règles suivantes en revenant à la première chaque fois qu’une règle aura été utilisée : 1. supprimer les flux qui n’ont pas de flux antérieur. Ils sont nécessairement spécifiés ; 2. remplacer les flux par leur antérieur, s’il n ’y en a qu’un. Dès qu’un flux apparaît deux fois, le supprimer une fois (ou ne pas l’écrire) ; 3. couper les boucles propres (ce sont les boucles sur un même noeud) ; 1 Figure 1.5 Le calcul du flux 1 implique une boucle de calcul itératifs donc une coupure. 4. couper un des flux parallèles de sens contraire. Couper la branche qui a le plus de flux postérieurs (qui est le plus grand nombre de fois l’antérieur d’autres) ; 4 A C B 1 2 3 2 1 3 4 C A B C A Chapitre 1 - 1.4 - 2 1 Figure 1.6 5. si deux boucles impliquent un même noeud (donc un même flux), c’est celui-ci qui doit être coupé. En effet, ce faisant on coupe les deux boucles par un seule coupure. Figure 1.7 Remarques : • on est rarement amené à appliquer la dernière règle, car les autres suffisent généralement, • lorsqu’on applique une des règles, il faut toujours recommencer à la 1ère règle pour continuer. Ces règles dues à MOTARD ont été édictées pour permettre la décomposition des flow-sheets préalablement à une simulation : elles permettent de déterminer et de localiser le nombre minimal de coupures pour que le calcul des unités puisse se faire de manière séquentielle et itérative. Pour connaître l’endroit où nous allons couper le système donné figure 1.2, appliquons les règles proposées ci-dessus. A partir du graphe réduit, nous pouvons dresser le tableau : FLUX FLUX ANTERIEURS 1 2 3 4 5 6 7 8 - 1, 5, 7 2, 4 3 3 3 6 6 Le flux 1 n’ayant pas de flux antérieur est supprimé (règle 1). D’où le tableau : 1 2 3 Chapitre 1 - 1.5 - FLUX FLUX ANTERIEURS 2 3 4 5 6 7 8 5, 7 2, 4 3 3 3 6 6 Remplacer les flux 4, 5, 6 par leur flux antérieur unique 3 (règle 2). D’où le tableau : FLUX FLUX ANTERIEURS 2 3 4 5 6 7 8 3, 7 2, 3 3 3 3 3 3 Remplacer le flux 7 par son flux antérieur 3. Ce dernier existant déjà comme antérieur de 2, il est inutile de l’écrire deux fois (règle 2). D’où le tableau : FLUX FLUX ANTERIEURS 2 3 4 5 6 7 8 3 2, 3 3 3 3 3 3 Remplacer le flux 2 par son flux antérieur 3 et ne pas l ’écrire car 3 existe déjà comme antérieur de 3. D’où le tableau final : Chapitre 1 - 1.6 - FLUX FLUX ANTERIEURS 2 3 4 5 6 7 8 3 3 3 3 3 3 3 Il est évident qu’il est inutile de recopier chaque fois le tableau. Généralement, les corrections successives sont apportées au 1er tableau (éventuellement en couleur) jusqu’à obtenir ce dernier tableau. Nous remarquons que tous les flux ont le flux 3 comme flux antérieur (sauf le flux 1 qui n’en a pas). Regardons maintenant l’application des règles de Motard au travers du graphe dual. L e 1er graphe dual est obtenu à partir du 1er tableau des flux (attention, ici les numéros représentent les flux). 1 3 2 4 5 6 7 8 Figure 1.8 Grâce au 2ème tableau, le graphe dual devient : 3 2 4 5 6 7 8 Figure 1.9 Grâce au 3ème tableau, le graphe dual devient : Chapitre 1 - 1.7 - 3 2 4 5 6 7 8 Figure 1.10 Grâce au 4ème tableau, le graphe dual devient : 3 2 4 5 6 7 8 Figure 1.11 Le dernier tableau donne le graphe dual : 3 2 4 5 6 7 8 Figure 1.12 Le dernier tableau, ainsi que ce graphe, permettent de voir que tous les flux ont le flux 3 comme flux antérieur, même le flux 3. Nous avons donc une boucle propre sur le flux 3. Nous devons donc couper le flux 3. Tous les autres flux disparaissent par application de la règle 1 car si le flux 3 est supprimé, les autres n’ont plus d’antérieur. Nous pouvons alors commencer le processus itératif. Le schéma suivant considère un calcul de simulation. Chapitre 1 - 1.8 - Envisageons une seule variable de description des flux (débit par ex.) et donnons au flux 3 une première valeur, soit a. On calcule les flux 4, 5 et 6. On calcule ensuite le flux 7 [ 7 = f6(6) ]. A ce moment, on est en mesure de calculer le flux 2 [ 2 = f1(1, 5, 7) ] et le flux 3 [ 3 = f2(2, 4) ]. Notons a’ cette nouvelle valeur du flux 3. Si a’ ≠ a, uploads/Finance/ simulation-et-optimisation-des-systemes-industriels.pdf