Statistique 3 (5009) Y. ASKOURA, MCF Université Paris 2. L2 économie-gestion, P

Statistique 3 (5009) Y. ASKOURA, MCF Université Paris 2. L2 économie-gestion, Paris II, 2015/2016 Statistique 3 (5009) 1 / 41 Contenu du cours : 1. Notion de probabilité : Modèle probabiliste. Probabilité conditionnelle. Théorème de Bayes. Indépendance. 2. Variable aléatoire : Variable aléatoire discrète. Espérance, variance. Moments. Variable aléatoire continue. Fonction de répartition, densité. 3. Lois usuelles : Lois usuelles discrètes : Bernoulli, binômiale, Hypergéométrique, Poisson, Pascal. Lois usuelles continues : uniforme, exponentielle, normale, gamma, khi-deux. 4. Lois empiriques : Échantillon. Moyenne et variance empiriques. Loi de Student. Loi de Fisher-Snedecor. 5. Lois multidimensionnelles : Couple de variables aléatoires discrètes. Loi marginale. Loi conditionnelle. Loi d’une sommes. Couple de variables aléatoires continues Statistique 3 (5009) 2 / 41 Bibliographie Gilbert SAPORTA, Probabilités analyse des données et statistique, Ed. Technip, Paris 2006. Jean-Pierre Lecoutre, Statistique et probabilités-cours et exercices corrigés, 5ième édition, Dunod, Paris 2012. Jean-Pierre Lecoutre, TD statistique et probabilités, 5ième édition, Dunod, Paris 2011. Statistique 3 (5009) 3 / 41 Bibliographie LB1/AND/S : Anderson, Sweeney et Williams, “Statistiques pour l’économie et la gestion", De Boeck. LB1/PIL/P : A. Piller, “Probabilités pour économistes", Ed. Premium. LB1/LAL/P : C. Laliberté, “Probabilités et statistiques", Ed. ERPI. LB1/REA/P : J. P . Réau et G. Chauvat, “Probabilités et statistiques", Ed. Armand Colin. LB1/GOL/P : B. Goldfarb et C. Pardoux, “ Introduction à la méthode statistique", Ed. Dunod. Statistique 3 (5009) 4 / 41 Dénombrement Permutation : suite ordonnée de n objets : Il y a Pn = n! possibilités Exemple : de combien de façons peut-on disposer 10 personnes sur 10 chaises alignées ? réponse : 10! = 1 ∗2 ∗3 ∗... ∗10 façons. Arrangement : de k objets parmi n : permutation de k objets parmi n Il y a Ak n = n! (n −k)! possibilités Exemple : Combien faut-il dépenser pour gagner sûrement au Quinté+ à une course à 10 chevaux ? (Quinté+ : un pari=2e sur les 5 premiers chevaux dans leurs ordres d’arrivées) réponse : 10! 5! ∗2e Exemple : Combien de mots composés de 10 lettres distinctes, peut-on former avec un alphabet de 26 lettres ? réponse : 26! (26−10)! Statistique 3 (5009) 5 / 41 Dénombrement Permutation avec répétition : suite ordonnée de k objets parmi n où un objet peut figurer plusieurs fois : Il y a Pk n = nk possibilités Exemple : Combien de mots de passe composés de 5 lettres, peut-on former avec un alphabet de 26 lettres ? réponse : 265 Combinaison : un sous-ensemble de k objets parmi n : Il y a Ck n = n! k!(n −k)! possibilités Exemple : Combien d’équipes de football un entraîneur peut-il former avec 15 joueurs ? réponse : 15! 11!(15−11)! = 12∗13∗14∗15 1∗2∗3∗4 Statistique 3 (5009) 6 / 41 Probabilité, généralités Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut prévoir par avance le résultat. L ’ensemble de tous les résultats possibles (ou issues) est appelé univers ou ensemble fondamental, noté généralement Ω Exemple 1. On lance un dé : l’univers est Ω= {1; 2; 3; 4; 5; 6} Un événement est un sous-ensemble d’issues. Souvent désigné par une assertion logique concernant le résultat de l’expérience. Dans l’exemple 1, “obtenir un nombre pair” est un événement, il est égal à A = {2, 4, 6}, il est réalisé si l’une des issues 2,4 ou 6 est obtenue. Un événement élémentaire consiste en un seul élément. L ’événement contraire (ou complémentaire) d’un événement A, noté A est constitué de l’ensemble des issues non incluses dans A. Si A est réalisé, A n’est pas réalisé, et réciproquement. On note aussi A = Ω\ A. Noter que A = A. Statistique 3 (5009) 7 / 41 Événement certain =univers Ω, Événement impossible=∅, Soient A et B deux événements, A ∩B : c’est l’événement (A et B) ou l’intersection de A et B, A ∪B : c’est l’événement (A ou B) ou l’union de A et B, A et B sont dit incompatibles ssi la réalisation de l’un exclut la réalisation de l’autre, autrement A ∩B = ∅. Autres opérations : A\B = {x ∈A : x / ∈B} A∆B = (A\B) ∪(B\A) Statistique 3 (5009) 8 / 41 Propriétés Chacune des opérations ∩et ∪est associative et commutative. A ∪(B ∪C) = (A ∪B) ∪C, A ∪B = B ∪A A ∩(B ∩C) = (A ∩B) ∩C, A ∩B = B ∩A Chacune des opérations ∩et ∪est distributive sur l’autre : A∩(B ∪C) = (A∩B)∪(A∩C), A∪(B ∩C) = (A∪B)∩(A∪C) plus généralement : A ∩( ∪ i∈I NBi) = ∪ i∈I N(A ∩Bi) et A ∪( ∩ i∈I NBi) = ∩ i∈I N(A ∪Bi) Le contraire de l’union (resp. l’intersection) est l’intersection (resp. l’union) des contraires : A ∪B = A ∩B et A ∩B = A ∪B plus généralement : ∪ i∈I NAi = ∩ i∈I NAi et ∩ i∈I NAi = ∪ i∈I NAi (À démontrer en exercice :indication double inclusion) Statistique 3 (5009) 9 / 41 Exemple Dans l’exemple 1, le contraire de {2, 3} ∪{3, 4, 5} est {1, 4, 5, 6} ∩{1, 2, 6} = {1, 6}. Un système complet d’événements (ou partition) de Ωest une collection A1, A2, ..., An d’événements de Ωvérifiant :  ∀i ̸= j, Ai ∩Aj = ∅ S Ai = Ω Exemple Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1,2}, {3,4,5,6} est un système complet d’événements. {1},{2}, {3},{4},{5},{6} est un système complet d’événements. {1,2,3}, {3,4,5,6} n’est pas un système complet d’événements. {1},{2}, {3},{4,6} n’est pas un système complet d’événements. Statistique 3 (5009) 10 / 41 Définition Une collection d’événements C de l’univers Ωest dite σ−algèbre (tribu) ssi : 1) ∀A ∈C , A ∈C , 2) C est stable par “union dénombrable” : pour tout famille dénombrable d’événements Ai, i ∈I N, de C , on a S i∈I N Ai ∈C . 3) Ω∈C . Remarque La première et la dernière condition impliquent que ∅∈C , La première et la deuxième conditions impliquent que C est stable par intersection dénombrable, En remplaçant le mot “dénombrable” par “fini”, on obtient la définition d’une algèbre. Statistique 3 (5009) 11 / 41 Example Tribu discrète : La collection de tous les événements imaginables P(Ω) de Ωest une σ−algèbre. Tribu grossière est C = {Ω, ∅}. C = {E ⊂Ω: E ou E est dénombrable} est une tribu. Si Ω= {1, ..., 10}, alors ; C = {∅, Ω, {1}, {2}, {1, 2}, Ω\{1, 2}, Ω\{1}, Ω\{2}} est une tribu. Définition Soit C0 une collection d’ensembles de Ω. La plus petite tribu C contenant C0 est appelée tribu engendrée par C0. On note C = σ(C0). σ(C0) est l’intersection des tribus sur Ωcontenant C0. Example Pour Ω= I R, la tribu engendrée par les intervalles ouverts de I R est appelée tribu borélienne de I R. Elle est aussi engendrée par les intervalles fermés, les intervalles de type (])[a, +∞[, a ∈I R,...etc. Statistique 3 (5009) 12 / 41 Modéliser la chance Définition On appelle espace probabilisable un couple (Ω; C ), où C est une σ−algèbre d’événements de l’univers Ω. Une probabilité d’un événement est un nombre de [0 ;1], elle doit vérifier cependant quelques conditions : Définition Une (loi de) probabilité sur (Ω, C ) est une application P de C à images dans [0; 1] tq : 1) P(Ω) = 1, 2) Pour toute collection dénombrable d’événements 2 à 2 incompatibles, Ai, i ∈I N, on a : P( ∪ i∈I NAi) = P i∈I N P(Ai) Le triplet (Ω, C , P) est appelé espace probabilisé. Statistique 3 (5009) 13 / 41 Propriétés. Soient A, B, Ai, i ∈I N des éléments de C . 1) P(∅) = 0, 2) P(A) = 1 −P(A), 3) Si A ⊂B alors, P(A) ≤P(B), 4) P(A ∪B) = P(A) + P(B) −P(A ∩B), 5) P( S i∈I N Ai) ≤P i∈I N P(Ai), 6) Si Ai, i ∈I N, vérifie Ai ⊂Ai+1 et ∪Ai = Ω(on notera Ai ↑Ω) alors, limi P(Ai) = 1 7) Si Ai, i ∈I N, vérifie Ai ⊃Ai+1 et ∩Ai = ∅(on notera Ai ↓∅) alors, limi P(Ai) = 0 8) Si Ai, i ∈I N, est un système complet d’événements, alors, ∀E ∈C , P(E) = X i∈I N P(E ∩Ai) Statistique 3 (5009) 14 / 41 Justifications 1)-4) sont évidentes. 5) Posons B1 = A1 et Bi+1 = Ai+1 \  i ∪ j=1Aj  . On a alors, ∪Bi = ∪Ai et Bi est un système complet. Donc, P(∪Ai) = P(∪Bi) = P P(Bi). Comme pour tout i, Bi ⊂Ai, P P(Bi) ≤P P(Ai) et donc P(∪Ai) ≤P P(Ai). 6) Considérons les Bi comme dans 5). Alors, P(Ai) = P( ∪ j≤iBj). Donc lim P(Ai) = limi P j≤i P(Bj) = P i P(Bi). Comme Bi est un système complet, ∪Ai = ∪Bi = Ω, d’où P i P(Bi) = 1. Donc, lim P(Ai) = 1. 7) Découle de 6) par passage au complémentaire. 8) Évidente. Il suffit de remarquer que les E ∩Ai sont 2 à 2 incompatibles uploads/Finance/ statistique-3-5009.pdf

Documents similaires

Chapitre I : Cadre conceptuel sur la PME 1.1 Définition et rôles de la PME dans 0 0

USTO _MB FACULTE DE CHIMIE Département de génie chimique L3 raffinage et pétroc 0 0

CHAHMI FOUAD Page 1/112 KRAFESS SALMA REMERCIEMENTS Notre stage au sein du cabi 0 0

1 Cours de création d’entreprise Élaborer par M. Wissem BEN SAID 2 Sommaire Cha 0 0

BTS Management des Unités Commerciales SESSION 2011 Management et Gestion des U 0 0

28/11/2018 Plans comptables sectoriels http://www.lesimulatoronline.com/home/d2 0 0

• Détails
• Publié le Mai 30, 2021
• Catégorie Business / Finance
• Langue French
• Taille du fichier 0.4652MB