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Estimation corrige STAT-S - Corrige ? Chapitre I Estimation Probabilit ?es et inf ?erence statistique STAT-S - Titulaires Catherine Dehon et Davy Paindaveine Partie Inf ?erence statistique Les exercices qui vous sont propos ?es sont class ?es de la fa con

STAT-S - Corrige ? Chapitre I Estimation Probabilit ?es et inf ?erence statistique STAT-S - Titulaires Catherine Dehon et Davy Paindaveine Partie Inf ?erence statistique Les exercices qui vous sont propos ?es sont class ?es de la fa con suivante ?? Exercice exercice pr ?esent ?e entierement par l ? assistant durant le s ?eminaire ?? Exercice exercice a r ?esoudre individuellement ou par petit groupe durant la s ?eance ?? Exercice exercice suppl ?ementaire Chapitre I Estimation Exercice On s ? int ?eresse a la r ?eussite des entreprises au cours de l ? ann ?ee Notons p la probabilit ?e de faillite d ? une entreprise en cette ann ?ee Pour ?etudier ce parametre p on a pr ?elev ?e un ?echantillon al ?eatoire simple avec remise de n entreprises en activit ?e au d ?ebut de l ? ann ?ee et on a relev ?e pour chaque entreprise si oui X ou non X une faillite avait eu lieu au cours de l ? ann ?ee On a X ?? Bin p oup est un parametre inconnu dans Donc P X xi pxi ?? p ??xi xi ?? i e P X p et P X ?? p q Soient X Xn i i d Bin p p ?? D ?eterminez p l ? estimateur de p obtenu a par la m ?ethode des moments Le principe de la m ?ethode des moments est d ? ?egaler les moments th ?eoriques aux moments empiriques Donc p est solution de n E X n Xi i Comme E X p alors p est solution de Ainsi p n n i Xi X n p n Xi i b par la m ?ethode du maximum de vraisemblance La vraisemblance de p associ ?ee a X Xn est n L X Xn p pXi ?? p ??Xi p n i Xi ?? p n ?? n i Xi i Titulaire C Dehon Assistant E M ALLAOUI CSTAT-S - Corrige ? Chapitre I Estimation Donc n n p ln L X Xn p Xi ln p n ?? Xi ln ?? p i i Pour trouver p qui maximise p il faut d ? abord ?egaler ? p ? p a Comme ? p n i Xi ?? n ?? n i Xi ? p p ??p alors ? p ?? ? p n Xi np ?? p n n Xi X i i Ensuite il faut v ?eri ?er que ? p ? p ?evalu ?ee en p X est n ?egative Comme ? p ? p ?? n i p Xi ?? n ?? n i Xi ?? p alors ? p ? p ?? p X n i Xi X ?? n ?? n i Xi ?? X nX ?? X ?? n ?? nX ?? X n ?? X ?? n ?? X n ?? X ?? X ?evident car Xi ne prend que les valeurs et et donc X Donc p X est bien la valeur