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Value at risk Sources : Wikipédia, FiMarkets, Investopedia Date de mise à jour

Value at risk Sources : Wikipédia, FiMarkets, Investopedia Date de mise à jour : Aout 2011 1 Histoire...............................................................................................................................1 2 Définition............................................................................................................................1 3 Principales caractéristiques............................................................................................2 4 Bale II et Capital réglementaire......................................................................................3 5 Méthodes de calculs........................................................................................................3 5.1 Var Paramétrique ou Approche variance covariance.........................................3 5.1.1 Cas d'un seul actif...............................................................................................3 5.1.2 Cas de deux actifs...............................................................................................4 5.1.3 Extension au cas de N actifs...............................................................................4 5.2 Var Historique...........................................................................................................4 5.3 VaR MonteCarlo.......................................................................................................5 5.4 Conclusion.................................................................................................................6 6 Vérification du calcul de la VaR : Back-Testing...........................................................6 7 Représentation formelle..................................................................................................6 8 Limites et inconvénients de la VaR..............................................................................7 9 Compléments d’informations..........................................................................................7 1 Histoire Cette notion est originaire du secteur de l'assurance. Elle a été importée à la fin des années 1980 sur les marchés financiers aux États-Unis par la banque Bankers Trust et popularisée par la banque JP Morgan en 1993 et son service (gratuit et public) Riskmetrics puis adoptée sous une forme embryonnaire par le Comité de Bâle (Bâle II) pour les banques et Solvabilité II pour les assurances. 2 Définition La VaR (de l'anglais value at risk, mot à mot : « valeur sous risque ») est une notion utilisée généralement pour mesurer le risque de marché d'un portefeuille d'instruments financiers. Elle correspond au montant de pertes qui ne devrait être dépassé qu'avec une probabilité donnée sur un horizon temporel donné. La Value at Risk 10 % d'un portefeuille suivant une distribution normale Pour calculer une VaR il est nécessaire de modéliser le portefeuille (et donc de faire des hypothèses). En particulier, cela suppose d'affecter une probabilité aux différentes évolutions possibles du portefeuille. La VaR est donc toujours conditionnelle à une modélisation d'un futur hypothétique qui possède nécessairement ses limites. Cette VaR peut être utilisée :  Pour le calcul du capital économique ;  Pour le suivi des risques de marché, à la fois en tant que reporting des risques et en tant qu'outil d'aide à la décision (pour allouer du capital à un "desk" par exemple) ;  Pour les exigences réglementaires (reporting réglementaire et exigences spécifiques). La VaR répond à l'affirmation suivante : « Nous sommes certains, à X%, que nous n'allons pas perdre plus de V euros sur les N prochains jours ». V correspond à la VaR, X% au seuil de confiance et N à l'horizon temporel. Par exemple, la VaR au seuil de confiance de 99% à 1 jour, que l'on notera, VaR ( 99%, 1j ), égale à 1 million d'euros signifie qu'un jour sur cent en moyenne, le portefeuille est susceptible d'enregistrer une perte supérieure à cette somme de 1 million d'euros. En considérant que les variations de valeur d'un portefeuille sont normales, la VaR peut être exprimée graphiquement, comme dans l'exemple ci-dessous : Dans l'exemple ci-dessus, la Var(99%,1j) correspond approximativement à une perte de 2.33 millions d'euros et la VaR(95%, 1j) correspond à peu près à une perte de 1.65 million d'euros. Remarque : l'espérance des variations est supposée nulle sur une journée. La volatilité d'un actif est l'écart type des variations du prix de cet actif. En considérant que les variations du portefeuille sont indépendantes d'un jour à l'autre : La volatilité est proportionnelle à . Pratiquement, cela revient à dire que la Var( 99%, 10 j ) = * Var(99%, 1j ). Généralement, c'est la VaR à 1 jour qui est calculée et la VaR à 10 jour est déduite par multiplication par . 3 Principales caractéristiques La VaR d'un portefeuille dépend essentiellement de trois paramètres :  la distribution des résultats des portefeuilles. Souvent cette distribution est supposée normale, mais beaucoup d'acteurs financiers utilisent des distributions historiques. La difficulté réside dans la taille de l'échantillon historique : s'il est trop petit, les probabilités de pertes élevées sont peu précises, et s'il est trop grand, la cohérence temporelle des résultats est perdue (on compare des résultats non comparables) ;  le niveau de confiance choisi (95 ou 99 % en général). C'est la probabilité que les pertes éventuelles du portefeuille ou de l'actif ne dépassent pas, par définition, la Value at Risk ;  l'horizon temporel choisi. Ce paramètre est très important car plus l'horizon est long plus les pertes peuvent être importantes. Par exemple, pour une distribution normale des rendements, il faut multiplier la Value at Risk à un jour par pour avoir la Value at Risk sur t jours. D'une manière générale, la VaR donne une estimation des pertes qui ne devrait pas être dépassée sauf événement extrême sur un portefeuille pouvant être composé de différentes classes d'actifs. 4 Bale II et Capital réglementaire Bale II autorise les banques à déterminer leur capital nécessaire pour répondre au risque de marché par un modèle interne utilisant la VaR( 99%, 10j ). Le capital réglementaire exigé vaut généralement 3 fois la VaR( 99%, 10j ). 3 méthodes principales sont utilisées pour calculer la VaR :  La méthode paramétrique ou approche variance-covariance  La méthode historique  La simulation de Monte Carlo. 5 Méthodes de calculs 5.1 Var Paramétrique ou Approche variance covariance L'approche paramétrique essaie de définir une formule décrivant la distribution des gains/pertes. Cette méthode se base sur plusieurs hypothèses :  Les variations des facteurs de risques suivent une loi normale.  La relation entre les variations de valeur du portefeuille et les variations des variables de marché est linéaire  Les produits dérivés Futurs, Swap… sont linéaires. Les obligations peuvent être ramenées à des payoffs linéaires. L'exception principale à cette condition étant les options. 5.1.1 Cas d'un seul actif 1er Portefeuille Un portefeuille de 5 Millions d'euros est constitué d'actions Renault, de volatilité annuelle 32%. La volatilité quotidienne de est alors : = 2%. ( 2% où 252 est le nombre de jours de bourse dans l'année ). La VaR au seuil 99% à une journée est alors ( 99%, 1j) = 5 000 000 * 2, 33 * = 233 000 euros. (La loi normale indique qu'il y a 1% de chance d'avoir une variation supérieure à 2.33 écart types. La volatilité étant l'écart type des variations du cours de l'action ). La VaR à 10 jours est alors ( 99%, 10j) = * 233 000 = 736 811 euros. 2ème Portefeuille Un portefeuille de 7 Millions d'euros est constitué d'actions Total, de volatilité quotidienne = 1%. La VaR au seuil 99% à une journée est alors ( 99%, 1j) = 7 000 000 * 2, 33 * = 163 100 euros. La VaR à 10 jour est alors ( 99%, 10j) = * 163 100 = 515 767 euros 5.1.2 Cas de deux actifs --> Il faut tenir compte de la corrélation entre les deux actifs X et Y, c'est à dire du lien entre les variations de X et celles de Y. Ex : Considérons le portefeuille formé en rassemblant les deux portefeuilles précédent et Le Portefeuille résultant est constitué de 5M d'action Renault de volatilité quotidienne 2% et 7M d'action Total de volatilité quotidienne 1%. La corrélation entre les deux actifs est de 0.6. = (99%, 1j ) = ( 99%, 1j ) = 355 659 euros. On peut remarquer que cette Var ( 99%, 1j ) est inférieure à la somme des deux Var ( 99%, 1j ) calculées précédemment (355 659 < 233 000 + 163 100). Ceci est dû aux gains de diversification. 5.1.3 Extension au cas de N actifs Cette logique peut être étendue pour le calcul d'un portefeuille constitué de N actifs. Les volatilités de chaque actif et les corrélations mutuelles entre deux actifs sont utilisées pour le calcul de la VaR. Modèle linéaire et obligations : Cashflow Mapping Cette méthode permet de décomposer une obligation en une série de flux de maturités usuelles. Par exemple, un remboursement à 0.9 ans peut être décomposé en deux remboursements, l'un a 6 mois et l'autre à 1 an. Après décomposition, il est possible de calculer la sensibilité de ce remboursement aux facteurs de risques utilisés : les taux 6 mois et un an. 5.2 Var Historique Il faut au préalable identifier les variables ou facteurs de risques significatifs dont l'évolution entraîne une variation de valeur du portefeuille. Ces facteurs sont les taux d'intérêts, les taux de change, les prix des actions… Des données sont collectées pour les facteurs de risques sur N jours écoulés, par exemple N= 250, ce qui conduit à 250 scénarios possibles pour la variation de ces variables entre aujourd'hui et demain. Exemple : Variable 1 Variable 2 ….. Variable N Jour 0 24.2 30.1 56 Variable 1 Variable 2 ….. Variable N Jour 1 26.3 31 55.5 Jour 2 27.5 30.9 55.7 ….. Jour 249 28.3 32 54 Jour 250 27.9 31.9 54 Aujourd'hui correspond au jour 250 : Pour établir le scénario 1, on calculera la variation de valeur du portefeuille en supposant une variation relative des facteurs de risque identique au jour 1. Valeur de la variable 1 : 27.9 * ( 26.3/24.2 ) = 30.3, de la variable 2 : 31.9 * (31/30.1) = 32.9 , … enfin de la variable N : 54* (55.5/56)= 53.5. Pour établir le scénario 2, on calculera uploads/Finance/ value-at-risk-histoire.pdf