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Mathématiques ﬁnancières Filière Sciences Économiques et Gestion Semestre 2 Moh

Mathématiques ﬁnancières Filière Sciences Économiques et Gestion Semestre 2 Mohamed HACHIMI UNIVERSITÉ IBNOU ZOHR FACULTÉ DES SCIENCES JURIDIQUES ECONOMIQUES ET SOCIALES D’AGADIR http://hachimicours.uiz.ac.ma 2 M. Hachimi Maths ﬁnancières Semestre 2 1 / 53 1 Les intérêts simples et composés M. Hachimi Maths ﬁnancières Semestre 2 2 / 53 Mathématiques ﬁnancières On regroupe sous l’appellation de mathématiques ﬁnancières l’ensemble des techniques mathématiques permettant de traiter des phénomènes régissant les marchés ﬁnanciers, tel que les calculs relatifs aux • taux d’intérêt • annuités • emprunts • investissements • . . . mais ainsi la modélisation mathématique du comportement aléa- toire des marchés ﬁnanciers. M. Hachimi Maths ﬁnancières Semestre 2 3 / 53 Les intérêts Sommaire 1 Les intérêts 2 Les intérêts simples 3 Les intérêts composés M. Hachimi Maths ﬁnancières Semestre 2 4 / 53 Les intérêts L ’intérêt L ’intérêt est le prix payé par l’emprunteur au prêteur pour utiliser un capital pendant une durée donnée. C’est le loyer de la somme prêtée. Il s’agit d’une dépense pour l’emprunteur et d’un revenu pour le prêteur. M. Hachimi Maths ﬁnancières Semestre 2 5 / 53 Les intérêts L ’intérêt On prête C unités monétaires (dirhams, euros, dollars,. . . ) pour une durée déterminée de d. Au bout de la durée ﬁxée, l’emprunteur rembourse au prêteur une somme S. L ’intérêt I est la différence entre S et C : I = S −C M. Hachimi Maths ﬁnancières Semestre 2 6 / 53 Les intérêts Le taux d’intérêt Pour pouvoir effectuer des comparaisons, il est courant que l’intérêt s’exprime par une valeur de base appelée taux d’intérêt. Le taux d’intérêt, noté i, est l’intérêt rapporté par une unité monétaire placé pendant une unité de temps (période). Notons I l’intérêt rapporté par un capital C placé pendant une période. On a la proportionnalité suivante : C I 1 i Ainsi, i = I C ou I = C × i M. Hachimi Maths ﬁnancières Semestre 2 7 / 53 Les intérêts Le taux d’intérêt ■L ’intérêt est variable selon la loi de l’offre et de la demande, du montant du prêt, de la durée et du taux d’intérêt. ■L ’habitude est d’exprime le taux d’intérêt en pourcentage (%) pour la période (an, semestre, trimestre, etc.) considérée. ■Si après avoir placé 1 dh pendant une période, on récupère 1, 15 dh, on dit que le taux d’intérêt sur la période est de 0, 15 ou encore 15 %. A savoir t % d’un nombre s’obtient en multipliant ce nombre par t 100 M. Hachimi Maths ﬁnancières Semestre 2 8 / 53 Les intérêts La valeur nominale La valeur nominale d’un capital est celle retenue à une date déterminée choisie comme origine des temps. M. Hachimi Maths ﬁnancières Semestre 2 9 / 53 Les intérêts La valeur acquise La valeur acquise par un capital est la valeur nominale augmentée des intérêts acquis pendant le temps couru au-delà de la date choisie comme origine des temps. M. Hachimi Maths ﬁnancières Semestre 2 10 / 53 Les intérêts La valeur actuelle La valeur actuelle d’un capital, au contraire, se détermine avant sa date d’échéance. L ’intérêt qu’il convient de retrancher de la valeur nominale prend le nom d’escompte. M. Hachimi Maths ﬁnancières Semestre 2 11 / 53 Les intérêts Types d’intérêts Trois facteurs essentiels déterminent le coût de l’intérêt : • la somme prêtée • la durée du prêt • le taux auquel cette somme est prêtée Dans ce qui suit, nous aborderons deux types d’intérêt : • Intérêts simples • Intérêts composés. M. Hachimi Maths ﬁnancières Semestre 2 12 / 53 Les intérêts simples Sommaire 1 Les intérêts 2 Les intérêts simples 3 Les intérêts composés M. Hachimi Maths ﬁnancières Semestre 2 13 / 53 Les intérêts simples Les intérêts simples Les questions traités dans cette partie concernent les opérations ﬁnancières à court terme : celles dont la durée normale n’excède pas un an. Pour ce type d’opérations la pratique normale est celle d’intérêt simple. M. Hachimi Maths ﬁnancières Semestre 2 14 / 53 Les intérêts simples Calcul de l’intérêt simple Dans un calcul à intérêts simples, les intérêts produits au cours d’une période ne sont pas capitalisés (ne produisent pas d’intérêts) au cours des périodes suivantes. Dans ce cas, le capital reste constant et produit les mêmes intérêts à chaque période. Les intérêts simples, produits sur une durée de placement, sont directement proportionnels — au montant du capital placé, — à la durée du placement du capital, — au taux d’intérêt périodique. M. Hachimi Maths ﬁnancières Semestre 2 15 / 53 Les intérêts simples Calcul de l’intérêt simple Soit : C : le capital placé, I : l’intérêt simple rapporté par le capital, n : le nombre de périodes de placement, i : taux d’intérêt périodique La formule de calcul de l’intérêt sur n périodes est la suivante : I = C × i × n Si le taux d’intérêt i est exprimé en pourcentage i = t %, alors I = C × t × n 100 M. Hachimi Maths ﬁnancières Semestre 2 16 / 53 Les intérêts simples Durée comptée en années La durée de placement étant exprimée en années, la formule de calcul de l’intérêt est la suivante : I : l’intérêt simple rapporté par le capital, C : le capital placé, n : le nombre d’années de placement, t % : taux d’intérêt annuel On a I = C × t × n 100 M. Hachimi Maths ﬁnancières Semestre 2 17 / 53 Les intérêts simples Exemple Calculons l’intérêt produit par un capital de 45 650 dh placé pen- dant 3 ans à un taux égal à 14 %. Dans ce cas, on a : C = 45 650 dh, t = 14 et n = 3 ans. Alors : I = 45650 × 14 × 3 100 = 19 173 dh M. Hachimi Maths ﬁnancières Semestre 2 18 / 53 Les intérêts simples Durée comptée en mois Les intérêts simples sont généralement appliqués pour des du- rées inférieurs à un an. Il est donc utile d’adapter la formule de calcul d’intérêts à des durées plus courtes. Si m désigne la durée en mois, on a la proportionnalité suivante : 1 an 12 mois n an m mois d’où : n = m 12 En remplaçant n par son expression en fonction de m, la formule de calcul de l’intérêt devient : I = C × t × m 1 200 M. Hachimi Maths ﬁnancières Semestre 2 19 / 53 Les intérêts simples Durée comptée en jours Par souci de simpliﬁcation, pour le décompte des intérêts en jours, on prend en référence l’année comptable de 360 jours et non l’année civile de 365 jours ou 366 jours. Si j désigne la durée en jours, on a la proportionnalité suivante : 1 an 360 jours n an j jours d’où : n = j 36 000 En remplaçant n par son expression en fonction de j, la formule de calcul de l’intérêt devient : I = C × t × j 36 000 M. Hachimi Maths ﬁnancières Semestre 2 20 / 53 Les intérêts simples Exemple 1 Quel est l’intérêt produit à intérêt simple par un placement d’une somme d’argent de 15 400 dh au taux de 11 % pendant 75 jours. Dans ce cas, on a : C = 15 400 dh, t = 11 et j = 75 jours. Alors : I = 15 400 × 11 × 75 36 000 = 352, 92 dh M. Hachimi Maths ﬁnancières Semestre 2 21 / 53 Les intérêts simples Exemple 2 Soit un capital de 20 500 dh placé à intérêt simple du 13 mars au 20 juillet de la même année au taux annuel de 11, 5 %. Le nombre de jours entre ces deux dates est de : j = 31 −13 + 30 + 31 + 30 + 20 = 129 jours On a : C = 20 500 dh, t = 11, 5 et j = 129 jours. Alors : I = 20 500 × 11, 5 × 129 36 000 = 844, 77 dh A savoir Pour les placement de date à date, on compte le nombre de jours réel entre les deux dates de placement. Il est souvent dit que le 1er jour n’est pas compté et que le dernier l’est. M. Hachimi Maths ﬁnancières Semestre 2 22 / 53 Les intérêts simples Pratique du calcul des intérêts Lorsque la durée du placement est exprimée en jours, l’intérêt est : I = C × t × j 36 000 Soit : I = C × j 36 000 t Le produit C × j est appelé nombre et désigné par N. Le quotient 36000/t est appelé diviseur ﬁxe correspondant au taux t et désigné par D. La formule du calcul de l’intérêt devient : I = N D Elle est appelée méthode des nombres et des diviseurs. M. Hachimi Maths ﬁnancières Semestre 2 23 / 53 Les intérêts simples Exemple Calculons l’intérêt de 5 600 dh uploads/Finance/ video-math-fi-2 1 .pdf