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1ère S1 Contrôle du jeudi 23 mai 2013 (3 heures 30) Le barème est donné sur 40.

1ère S1 Contrôle du jeudi 23 mai 2013 (3 heures 30) Le barème est donné sur 40. I. (10 points) Les deux parties sont indépendantes. Partie 1 : (6 points) Un client place 3 000 € le 1er janvier 2000 sur un compte bancaire rémunéré à intérêts composés au taux annuel de 2,5 %. 1°) Pour tout entier naturel n, on note n C la somme disponible en euros sur ce compte le 1er janvier de l’année (2000 + n). a) Exprimer, pour tout entier naturel n, 1 n C  en fonction de n C . b) En déduire que pour tout entier naturel n, on a : 3 000 × 1,025n n C  . 2°) On donne l’algorithme suivant : Entrée : Saisir un nombre S strictement supérieur à 3 000 Initialisations : n prend la valeur 0 U prend la valeur 3 000 Traitement : Tantque U  S Faire n prend la valeur n + 1 U prend la valeur U  1,025 FinTantque Sortie : Afficher le nombre 2000 + n a) Pour la valeur S = 3 300 saisie en entrée, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant : Étape 1 2 ………….. Condition U  S vraie ………….. Valeur de n 0 ………….. Valeur de U 3 000 ………….. Aucune explication n’est demandée. Les valeurs de U seront éventuellement arrondies au centième. En déduire l’affichage obtenu en sortie quand la valeur S saisie en entrée est 3 300. b) Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme quand on saisit en entrée un nombre S strictement supérieur à 3 000. c) Déterminer, à l’aide de la calculatrice, à partir du 1er janvier de quelle année, le capital final de ce client sera strictement supérieur à 10 fois le capital initial. Aucune explication n’est demandée. Partie 2 : (4 points) Dans cette partie, on suppose qu’un client place le 1er janvier 2000, sur un compte rémunéré à intérêts composés au taux annuel de 2,5 % une somme de a € (a > 0). De plus, chaque 1er janvier des années suivantes, il place 1 000 € sur ce compte. Pour tout entier naturel n, on note n U la somme disponible en euros sur ce compte le 1er janvier de l’année (2000 + n). Ainsi, 0 U a  . 1°) Justifier brièvement, que pour tout entier naturel n, 1 1,025 1 000 n n U U   . 2°) Pour tout entier naturel n, on pose : 40 000 n n V U   . a) Démontrer que la suite ( n V ) est une suite géométrique ; préciser sa raison et son terme initial 0 V . b) Démontrer que, pour tout entier naturel n,   1,025 40 000 40 000 n n U a     . c) Déterminer, à un euro près par excès, le placement initial minimal a, permettant de disposer sur ce compte, le 1er janvier 2005, d’une somme d’au moins 10 000 €. II. (5 points = 3 points + 2 points) On considère une suite ( n u ) définie sur  de la manière suivante : ses treize premiers termes 1 u , 2 u , …, 13 u forment une suite arithmétique de raison r (r  0) ; à partir de 13 u , ses termes constituent une suite géométrique de raison 1 r (donc, en particulier : 13 12 u u r   et 14 13 1 u u r   ). Les deux questions sont indépendantes. 1°) Calculer r, 13 u et 1 u sachant que l’on a : 1 2 u r  et 17 5 32 u  . 2°) Dans cette question, on prend 1 1 u  et 2 r  . Pour tout entier naturel n  1, on pose 1 2 ... n n S u u u     . Exprimer n S en fonction de n en distinguant deux cas : 1er cas : n  13 ; 2e cas : n > 13. Dans chaque cas, on attend une expression en fonction de n. On donnera les résultats sous forme simplifiée. III. (9 points) Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, i  , j  ). On donne le point I(0 ; 4). Aucune figure n’est demandée sur la copie. Les deux parties sont indépendantes. Partie 1 (7 points) 1°) Démontrer que l’ensemble C des points M du plan dont les coordonnées (x ; y) vérifient 2 2 4 0 x y x    est un cercle dont on précisera les coordonnées du centre  et le rayon. 2°) Soit m D la droite passant I et de coefficient directeur m (m étant un réel quelconque). a) Démontrer que les abscisses des points d’intersection éventuels de C et de m D sont solutions de l’équation 2 2 (1 ) 4(2 1) 16 0 m x m x      (E). b) Calculer le discriminant  de (E) (expression simplifiée en fonction de m). c) Discuter suivant les valeurs de m le nombre de points d’intersection de C et m D (on ne demande pas l’expression des abscisses de points d’intersection éventuels). Partie 2 : (2 points) On note J le point d’abscisse strictement positive tel que le triangle OIJ soit équilatéral et K le point tel que 1 JK JO 4    . On rappelle que O est l’origine du repère. On demande de répondre aux deux questions de cette partie sans utiliser les coordonnées : on pourra cependant utiliser les coordonnées des points déjà données mais on ne calculera pas de nouvelles coordonnées. 1°) Calculer la distance IK (valeur exacte) en utilisant une relation métrique (on ne calculera pas les coordonnées de J ni celles de K). 2°) Déterminer la valeur arrondie au dixième de la mesure en degrés de l’angle  OKI. IV. (7 points) Lors d’un concours, les candidats sont soumis à un Q.C.M. comportant 20 questions indépendantes les unes des autres. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées. Toute réponse juste rapporte un point et une réponse fausse enlève 0,5 point. Le total des points, positif ou négatif, est donné sur 20. Un candidat est reçu lorsqu’il a la moyenne c’est-à-dire lorsqu’il obtient un total supérieur ou égal à 10. On suppose que : - la probabilité que le candidat donne la bonne réponse pour chaque question est égale à p (0 < p < 1) ; - le candidat répond à toutes les questions. On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de réponses justes et T la variable aléatoire qui donne le total des points obtenus. 1°) a) Quelle est la loi suivie par X ? Préciser ses paramètres. b) Dans cette question, on suppose que le candidat a deux chances sur trois de donner la bonne réponse pour chaque question. Calculer la probabilité que le candidat ait 12 réponses justes ; on se contentera de donner la valeur arrondie au millième. 2°) a) Démontrer que l’on a : T = 1,5X – 10. b) Exprimer E(X) en fonction de p ; en déduire E(T) en fonction de p. c) Quelle doit être la valeur de p si le candidat veut espérer obtenir un total de points de 14 en moyenne ? 3°) a) Quel est le nombre minimal de réponses correctes pour que le candidat ait un total supérieur ou égal à 10 ? b) On considère : - que la probabilité qu’un élève sérieux donne une réponse correcte à une question est égale à 0,7 ; - qu’un élève peu travailleur répond au hasard à toutes les questions. Les concepteurs de l’épreuve désiraient que : - la probabilité d’accepter un étudiant peu travailleur soit strictement inférieure à 0,01 ; - la probabilité de refuser un étudiant travailleur soit strictement inférieure à 0,25. Leurs objectifs sont-ils atteints ? Justifier. V. (9 points) Partie 1 : (7 points) On pose cos 5 x   et sin 5 y   . 1°) Exprimer 2 cos 5  en fonction de x et 2 sin 5  en fonction de x et de y. 2°) En remarquant que 3 2 5 5 5      , exprimer 3 sin 5  en fonction de x et y sous forme factorisée. 3°) Justifier que l’on a : 3 2 sin sin 5 5    . 4°) Déduire des questions précédentes que l’on a : 2 4 2 1 0 x x   . 5°) Calculer les valeurs exactes de cos 5  et 2 cos 5 . Partie 2 : (2 points) Dans le plan orienté muni d’un repère orthonormé direct (O, i  , j  ), on note C le cercle trigonométrique. On donne les points A(1 ; 0), B(0 ; 1), A '(– 1 ; uploads/Geographie/ 1ere-s-controle-23-5-2013.pdf