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Première S 1 F. Laroche Transformations du plan http://laroche.lycee.free.fr Classe de 1°S Transformations 1. Homothétie 1 2. Homothétie 2 3. Homothétie 3 4. Barycentres +Homothétie 5. Barycentres +Homothétie 6. Homothétie et translation 7. Homothétie 8. Homothétie 9. Cercles et lieux 10. Cercles et lieux 11. Lieux géométriques 12. Homothétie et cercles 13. Réflexion - 1 14. Réflexion - 2 15. Rotation 16. Rotation 17. Carré et parallélogramme 18. Triangle isocèle 19. Transformation 20. Triangle 21. Triangle et rotation 22. Parabole 23. Triangle et lieux 24. Homothéties dans un trapèze (c) 25. QCM Homothéties (c) 1. Homothétie 1 Soit ABC un triangle, ( ) son cercle circonscrit et O le centre de ( ). Soit H le milieu de [BC] et D le point de ( ) diamétralement opposé à A. B' est le symétrique de A par rapport à B et C' le symétrique de A par rapport à C. D se projette orthogonalement en K sur [B'C']. Le but de l'exercice est de démontrer que K est le milieu de [B'C'] et que les points A, H et K sont alignés . Pour cela on considère l'homothétie h de centre A qui transforme B en B' 1. Quel est le rapport de h ? 2. Déterminer les images par h des points O et C, puis l'image du segment [BC]. 3. Soit ( ' ) l'image du cercle ( ) par h. Quel est le centre de ( ' ) ? Montrer que ( ' ) passe par B' et C' . 4. Montrer que (DK) est médiatrice de [B'C'] . En déduire que K = h(H) puis que les points A, H et K sont alignés. 2. Homothétie 2 Dans la figure ci-dessous, ABCD est un parallélogramme, I est un point donné de (BD), (AI) coupe (BC) en J et (DC) en K. 1. Montrer que les triangles AID et BIJ sont semblables de même que AIB et DIK. 2. Montrer que 2 IA IJ IK   . K J I D C B A 3. Homothétie 3 Soit un triangle ABC. On appelle I le milieu de [BC]. Soit  le cercle circonscrit au triangle ABC. On appelle O son centre. D est le point diamétralement opposé à A sur le cercle . On considère l'homothétie h de centre A et de rapport 2. 1. Construire le point E, image de B par h, et le point F, image de C par h. 2. a. Déterminer l’image de O par h. Première S 2 F. Laroche Transformations du plan http://laroche.lycee.free.fr b. Construire l’image de la droite (IO) par h. c. Montrer que l’image de (IO) est perpendiculaire à (EF). 3. K est le projeté orthogonal de D sur (EF). a. Déterminer l'image de I par h. b. Montrer alors que I est le milieu de [AK]. c. En déduire que K est le milieu de [EF]. 4. Barycentres +Homothétie On considère dans un plan P un triangle ABC , B' le milieu de [AC] , C' celui de [AB], I le barycentre du systême {(A, 2), (B, 2), (A, 1), (C, 1)}, et D celui de {(A, 3), (B, 2)}. 1. Montrer que I est le barycentre de {(B', 1), (C', 2)} et de {(D, 5),(C, 1)}. En déduire une construction géométrique simple de I. Faire la figure. 2. La droite (AI) coupe (BC) en E . Préciser la position de E sur [BC] . 3. B et C restent fixes, A se déplace dans le plan de sorte que AE soit constante. Déterminer et construire l'ensemble des points A, des points I et des points D. 5. Barycentres +Homothétie Dans le plan, on considère un triangle équilatéral ABC tel que ( , ) 3 AB AC     . On appelle  le cercle circonscrit à ABC, I le milieu de [AB] et J celui de [OI]. Les droites (OA) et (OC) recoupent  respectivement en D et E. 1. Faire la figure (unité : OA = 4 cm) 2. On note G l’isobarycentre de A, B, C, D et E. Exprimer OG    en fonction de OB   puis en fonction de OJ  et OD    . En déduire une construction géométrique simple de G. 3. A tout point M du plan on fait correspondre le point M’ = f(M) défini par :   1 ' 4 MM MA MB MC MD ME                    . Montrer que f est une homothétie dont on donnera le centre et le rapport. 6. Homothétie et translation Dans le plan on considère le triangle ABC isocèle rectangle en A tel que * 3 , AB AC a a        . 1. Déterminer le barycentre G des points A, B, C affectés des coefficients 4, −3, 2. Construire G. 2. Soit 2 2 2 : ( ) 4 3 2 f P M f M MA MB MC       . Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que 2 ( ) 36 f M a  . Représenter cet ensemble. 3. Soit : , ' 3 2 ' P P F MM kAM MB MC M M               . Discuter suivant les valeurs de k la nature de F. 7. Homothétie Soit deux cercles (C) et (C’) de centres respectifs O et O’ et de rayons R et R’ distincts. 1. Déterminer les homothéties transformant (C) en (C’). On précisera leurs centres et leurs rapports. 2. Construire les tangentes communes à (C) et (C’). 8. Homothétie ABC est un triangle isocèle (AB = AC). E et F sont deux points du segment [BC]. Les parallèles à (AB) menées par E et F coupent (AC) en G et H respectivement. Les parallèles à (AC) menées par E et F coupent (AB) en I et J respectivement. 1. Montrer que GH = IJ. 2. Quelle condition doivent vérifier E et F pour que (JG) et (IH) soient parallèles ? Première S 3 F. Laroche Transformations du plan http://laroche.lycee.free.fr 9. Cercles et lieux Il est vivement recommandé d’utiliser un logiciel de géométrie… 1. Partie préliminaire : on considère un triangle ABC, G son centre de gravité,  le centre de son cercle circonscrit et H son orthocentre. Montrer que H est l’image de  dans une homothétie de centre G dont on précisera le rapport. 2. On considère un cercle  de centre O, de rayon R, passant par un point fixe A. Soient B et C deux points de  tels que la distance BC soit constante et égale à l. a. Quel est le lieu géométrique des milieux I de [BC] ? b. Quel est le lieu géométrique des centres de gravité G de ABC ? c. Quel est le lieu géométrique des orthocentres H de ABC ? 3. Reprendre la partie 2. avec BC sur une droite  ne passant pas par A, A fixe. 10. Cercles et lieux Il est vivement recommandé d’utiliser un logiciel de géométrie… Dans le plan on donne deux points A et B distincts. Soit (D) la droite perpendiculaire à (AB) en B. On considère tous les cercles (C) du plan caractérisés par la propriété suivante : T et T’ étant les points de contact des tangentes menées de A à (C), le triangle ATT’ est équilatéral. 1. En étudiant le rapport des distances du centre d’un cercle (C) aux points A et B, déterminer et préciser la nature de l’ensemble des centres des cercles (C) qui passent par B. 2. Déterminer et préciser la nature de l’ensemble des centres des cercles (C) tangents à la droite (D). 11. Lieux géométriques Soit k un réel différent de 0 et de 1. On considère trois points A, B et C deux à deux distincts tels que AC kAB     et les cercles 1  et 2  de diamètres respectifs [AB] et [AC]. Une droite  non perpendiculaire à (AB) et distincte de (AB), passant par A, recoupe les cercles 1  et 2  respectivement en M et N. 1. a. Quelle est la position relative des droites (BM) et (CN) ? b. pour quelle valeur de k les droites (BN) et (CM) sont-elles parallèles ? 2. On suppose désormais que k est fixé et différent de −1. Soit P le point d’intersection des droites (BN) et (CM). a. Soit h l’homothétie de centre P telle que h(B) = N. Montrer que h(M) = C. Calculer le rapport de h en fonction de k. b. Déterminer le réel  tel que BP BN      . Quel est le lieu géométrique du point P lorsque  varie ? c. En se plaçant dans le cas où k = 2 et où la distance BA = 6 uploads/Geographie/ 1s-exercices-transformations.pdf