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THÈSE THÈSE En vue de l’obtention du DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE TOULOUSE Déliv

THÈSE THÈSE En vue de l’obtention du DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE TOULOUSE Délivré par : l’Université Toulouse 3 Paul Sabatier (UT3 Paul Sabatier) Présentée et soutenue le 2016 par : Asma TOUMI Méthode numérique asynchrone pour la modélisation de phénomènes multi-échelles JURY EDWIGE GODLEWSKI Professeur d’Université Rapporteur JULIEN DIAZ Chargé de Recherche Rapporteur PHILIPPE PONCET Professeur d’Université Directeur de thèse GUILLAUME DUFOUR Ingénieur de Recherche Directeur de thèse HÉLÈNE BARUCQ Directeur de Recherche Examinateur RONAN PERRUSSEL Chargé de Recherche Examinateur École doctorale et spécialité : MITT : Domaine Mathématiques : Mathématiques appliquées Unité de Recherche : Equipe d’accueil ONERA-ISAE, MOIS : MOdélisation et Ingénierie des Systèmes Directeur(s) de Thèse : Philippe PONCET et Guillaume DUFOUR Rapporteurs : Edwige GODLEWSKI et Julien DIAZ 2 A ma chère Maman Salha A la mémoire de mon père Khalifa i ii Remerciements Je veux ici exprimer toute ma reconnaissance à celles et ceux qui grâce auxquels j’ai pu mener à bien cette thèse. Je tiens tout d’abord à remercier les membres du jury pour le temps qu’ils ont consacré à mon travail, leurs questions et leurs remarques. Je remercie Hélène BARUCQ d’avoir présidé mon jury de thèse. Je remercie vivement les rapporteurs Edwige GODLEWSKI et Julien DIAZ pour avoir accordé du temps à une lecture attentive et détaillée de mon manuscrit ainsi que pour leurs remarques encourageantes et constructives. Un grand merci pour Philippe PONCET mon directeur de thèse. Je remercie chaleureuse- ment Ronan PERRUSSEL. J’exprime toute ma gratitude à mon encadrant Guillaume DUFOUR. Merci pour ta disponibilité, ton soutien, ta patience et la conﬁance que tu m’as accordée. Je remercie sincèrement François Rogier pour son aide très précieuse, sa gaieté naturelle et ses encou- ragements qui m’ont beaucoup aidé à surmonter les difﬁcultés. Je me dois aussi de remercier Thomas Unfer. Je remercie l’équipe DITIM de m’avoir accueilli chaleureusement durant cette thèse. Des remercie- ments tout particuliers à mes camarades de thèse et stagiaires qui ont rendu ces trois ans plus doux. Merci pour les nombreuses pauses cafés, les repas tous les midis au RU et les jeux de cartes. Je remercie ainsi : Jeanne, Alexandra, Tomasz, Marc, Jonathan, Kevin, Emanuele, Matthieu, Hugo, Fabrice, Quentin, David, Guillaume, Simon... Durant ma thèse j’ai eu la chance de rencontrer des vrais amis d’autres départements, avec qui j’ai partagé des moments agréables : Ahmad, Mohamed et Ramzi. Nous avons réussi à créer notre petit groupe au sein de l’ONERA. J’ai bien apprécié pouvoir discuter de différents sujets avec vous même si je n’étais pas d’accord avec vos idées. D’ailleurs vous ne m’avez jamais convaincu ! Il n’empêche que je me suis bien marrée avec vous. C’était un grand plaisir de vous rencontrer. Je me tourne maintenant vers ma famille que la distance géographique n’a pas découragé pour suivre l’évolution de ma thèse. Rien de tout cela aurait été possible sans votre amour, votre soutien et votre patience. Mes remerciements les plus profonds vont à ma mère Salha qui m’a soutenu durant mes nom- breuses années d’études et qui a toujours été là pour moi. Je proﬁte de ce paragraphe pour te dire à quel point je t’aime. Je te dédie ce travail en témoignage de mon profond amour et de mon immense recon- naissance. J’espère que tu es contente et ﬁère de moi. Je dédie ce travail aussi à la mémoire de mon père qui attendait avec impatience ce jour où sa "petite" ﬁlle devient docteur mais dont la maladie en a décidé autrement. Un grand merci à mes frères : Mohamed, Sami et Hatem et à mes soeurs : Raja, Aicha et Houda qui m’ont soutenu moralement durant la réalisation de ce mémoire. Ils n’ont eu de cesse de m’en- courager et de m’aider durant cette période. En particulier Houda qui a suivi l’évolution de ma thèse, qui iii m’a aidé à surmonter les moments les plus difﬁciles et qui m’a remonté le moral dans les moments de doute. Je te remercie beaucoup pour ta qualité d’écoute et ta grande patience. iv Table des matières 1 Introduction 1 1.1. Contexte : le projet MACOPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. La modélisation par équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3. Discrétisation spatiale des EDPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.1. Les différences ﬁnies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.2. Les volumes ﬁnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.3. Les éléments ﬁnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.4. Galerkin discontinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4. Discrétisation temporelle des EDPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.1. Les schémas implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.2. Les schémas implicites-explicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.3. Les schémas explicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.3.1. Les schémas à pas de temps locaux : Les schémas LTS . . . . . . . . 10 1.4.3.2. Le schéma LTS-RK développé dans [35] . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.3.3. Les méthodes asynchrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5. Objectifs de la thèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6. Structure du manuscrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 I Schéma numérique asynchrone d’ordre un pour la discrétisation des équations de transport 17 2 Étude du schéma numérique asynchrone pour les équations de transport 19 2.1. Déﬁnition du schéma numérique asynchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1. La méthodologie asynchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.2. L’algorithme asynchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2. Application de la méthode asynchrone pour la discrétisation de l’équation de transport en dimension un d’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.1. Discrétisation en espace de l’équation d’advection . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.2. Discrétisation en temps : le schéma asynchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.2.1. L’algorithme asynchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3. Propriétés du schéma asynchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Geographie/ 2016tou30181-pdf.pdf