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Exercice covariance et gestion du risque philippe bernard ingenierie economique financiere universite paris dauphine

Exercice covariance et gestion du risque Philippe Bernard Ingénierie Economique Financière Université Paris-Dauphine Mars COn considère deux actifs dont les rendements et les volatilités sont rendement volatilité actif actif Le coe ?cient de corrélation ? est un paramètre du problème L ? univers des titres étant supposé se limiter aux deux actifs la contrainte budgétaire de tout investisseur s ? écrit x x Questions Donnez l ? expression de l ? espérance et de la variance du rendement du portefeuille en fonction seulement de x Calculez la dérivée de la variance par rapport à x avec le paramètre ? ainsi que celle du rendement espéré Comment évolue le rendement espéré du portefeuille en fonction de x Evaluez pour un niveau quelconque de ? la dérivée de la variance pour x Localement quel est l ? e ?et de d ? augmenter x au voisinage de x Quelle est donc la forme de la courbe paramétrée par x écart- type - rendement espéré Similairement au voisinage de x à quelle condition sur ? la dérivée de la variance par rapport à x sera strictement positive Quelle sera donc en fonction de ? la forme de la courbe paramétrée par x écart- type - rendement espéré au voisinage de x En supposant pour cette question que ? ?? montrez en utilisant si nécessaire des résultats antérieurs que la courve volatilité - rendement espéré sera décroissante au voisinage de x Puis montrez qu ? il existe un niveau x ? en deça duquel la courbe redevient croissante Interprétez économiquement ce niveau x ? Application Excel En utilisant Excel tracez les courbes volatilité rendement espérée du portefeuille lorsque ? ?? ?? CEléments de correction Espérance et variance du rendement des portefeuilles Avec les rendements et les volatilités données l ? espérance notée r et la variance notée ? du rendement du portefeuille s ? écrivent r x x x ?? x ?? x ? x x x ? x x x ?? x ? ?? x x ?x ?? x ?? x Dérivée du rendement espéré et de la variance ? ? x r ?? ? ? ? x x ? ?? x ?? ?? x x ?? ? ?? x Evaluation au voisinage de x Pour x la dérivée de la variance est égale à ? ? ?? ? ? x Comme ? ? on a donc que pour x ? ? ? ?? ? x Comme la dérivée est une fonction continue lorsque la valeur de x est su ?samment proche de la dérivée de la variance est également négative Naturellement la volatilité C qui n ? est que la racine carrée de la variance hérite de ces propriétés de décroissance puisque ? ? ? ? ?? ? x ? x ? Comme la volatilité ? et le rendement espéré du portefeuille sont deux fonctions paramé- trés par x alors la pente de cette courbe en un point x est donnée par dr ? r ? x d ? x ? ?