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Réalisé par : MOUISSET RIDA MOUMENE OUMAIMA Encadré par : Mr CHAFIK GUEMIMI Ana

Réalisé par : MOUISSET RIDA MOUMENE OUMAIMA Encadré par : Mr CHAFIK GUEMIMI Analyse de position 1 Sommaire Introduction : ........................................................................................................................................... 2 Le mode : ................................................................................................................................................. 2 1- Cas d’une variable qualitative : ....................................................................................................... 2 2- Cas d’une variable quantitative : ..................................................................................................... 3 A-variable quantitative discrète : ..................................................................................................... 3 B-variable quantitative continu : ..................................................................................................... 3 La fonction Excel du mode : ............................................................................................................... 5 - La médiane ............................................................................................................................................ 6 Méthode de calcul : ............................................................................................................................. 6 Cas d’une variable discrète : ............................................................................................................ 6 Cas d’une variable continu : ............................................................................................................ 7 Détermination de la médiane avec Excel : ......................................................................................... 8 -Utilitaire d’analyse : ........................................................................................................................... 8 Moyenne arithmétique : ......................................................................................................................... 10 La moyenne arithmétique pondérée : .............................................................................................. 11 Les quantiles : ........................................................................................................................................ 11 1) Quartiles : ...................................................................................................................................... 11 2) Déciles ........................................................................................................................................... 13 3)Centiles ........................................................................................................................................... 13 2 Introduction : En statistique, un indicateur de position est un nombre réel permettant de situer les valeurs d’une série statistique d’une variable quantitative. Il peut s’agir d’un indicateur de tendance centrale ou d’une valeur décentrée comme le maximum ou le minimum de la série. Les indicateurs de position sont le plus souvent des moyennes (arithmétique, géométrique, quadratique...) ou des quantiles comme la médiane et les quartiles. Ils se distinguent des indicateurs de dispersion qui décrivent la variabilité des valeurs de la série. Le mode : Le mode, d’une série statistique est la valeur du caractère la plus fréquente ou dominante dans l'échantillon. Autrement dit, c’est la valeur qui a la fréquence (absolue ou relative) la plus élevée. Lorsque la distribution a plus d’un mode, on parle d’une distribution « multimodale » (bimodale, trimodale , etc.). Par contre, si l'on est en présence de données groupées en classes, le mode se rapportera à la classe comportant le plus grand nombre d'individus : on parlera alors de classe modale. Cependant, il peut y arriver que l’on s’intéresse à avoir la valeur approchée ou exacte de ce mode. Par conséquent, il est recommandé d’appliquer la démarche suivante : - Pour avoir une valeur approximative du mode, on calcule la moyenne de la classe qui a la fréquence la plus élevée. 1- Cas d’une variable qualitative : Exemple : On a la distribution suivante d’une population selon leurs situations familiales : Célibataire Veuf Célibataire Célibataire Divorcé 3 On sait que EP  PF QR ST Le mode : M₀= 1500 + x = L₁ +x (L₁ : limite inférieure de la classe modale ) x/d₁= (i-x)/d₂ donc x = (d₁ . i )/(d₁+ d₂) donc M₀ = L₁ +[ d₁ / (d₁+ d₂)] . i (i est l’amplitude de la classe modale) x . d₂ = d₁ i - d₁ . x 9 Dans ce cas la modalité la plus dominante c’est « célibataire » Donc d’après la définition le mode c’est célibataire. 2-Cas d’une variable quantitative : A-variable quantitative discrète : Xi Effectif 1 12 2 30 3 5 Le plus grand effectif c’est 30 donc le mode est égale à 2 B-variable quantitative continu : a- Cas d’amplitude égale : 1- Détermination de la classe modale Dans le cas dune série statistique continu il faut premièrement déterminer la classe modale Elle est définit comme la classe qu’elle a la plus grande effectif. Exemple : Xi ni 1500-2000 26 2000-2500 12 2500-3000 11 Amplitude = la borne supérieur – la borne inférieur 4 Alors Ai = 500 Pour déterminer le mode ; on définit d’abord la classe modale dont l’effectif est le plus élevé. Dans notre exemple c’est la classe 1500-2000 Une fois qu’on a défini la classe modale; on détermine le Mode en appliquant la formule démontrée plus haut : M0 = L1 + [ d1 / (d1+ d2)] × i L1 : Limite inférieure de la classe d1 : Différence entre l’effectif ou la fréquence de la classe modale et l’effectif ou la fréquence de la classe précédente d2 : Différence entre l’effectif ou la fréquence de la classe modale et l’effectif ou la fréquence de la classe suivante i : Amplitude de la classe modale Donc le mode = 1500+(26-0)/(26-0)+(26-12)*500 M = 1825 Détermination graphide de mode : Il correspond au milieu de plus grand bâton 5 b- cas d’amplitude inégale : Xi ni ai U=ai/a0 Ni corrigé 0-5 50 5 1 50 5-10 100 5 1 100 10-20 400 10 2 200 20-30 120 10 2 60 30-50 60 20 4 15 Avec a0 amplitude de base elle correspond a la plus petite amplitude L’effectif corrigé = ni/U Donc M=L1 + D1/D1+D2 * ai M= 10 + (200-100) / (200-100)+(200-60) * 10 M = 14 La fonction Excel du mode : 6 - La médiane la médiane d'un ensemble de valeurs (échantillon, population, distribution de probabilités) est une valeur x qui permet de couper l'ensemble des valeurs en deux parties égales : mettant d'un côté une moitié des valeurs, qui sont toutes inférieures ou égales à x et de l'autre côté l'autre moitié des valeurs, qui sont toutes supérieures ou égales à x (s'il y a un nombre impair de valeurs, la valeur centrale sera mise des deux côtés). Intuitivement, on peut dire que la médiane est le point milieu de l'ensemble1, qu'elle divise en deux moitiés. C'est un indicateur de tendance centrale de la série. On peut déterminer une médiane pour un ensemble de valeurs non numériques1 pour autant qu'on puisse choisir un critère d'ordonnancement de ces valeurs. Elle est valable juste pour les variables quantitatifs. Méthode de calcul : Pour déterminer une médiane d'un ensemble de valeurs, il suffit d'ordonner les valeurs en une liste croissante et de choisir la valeur qui est au centre de cette liste2. Pour une liste ordonnée de 2N+1 éléments, la valeur du (N+1)-ième élément est la médiane. Pour une liste ordonnée de 2N éléments, toute valeur comprise entre l'élément N et l'élément N+1 est une médiane ; en pratique, dans le cas d'une liste de nombres, c'est la moyenne arithmétique de ces deux valeurs centrales qui est le plus souvent utilisée. Cas d’une variable discrète : Cas de distribution impair : 7 – 12 – 13 – 14 – 20 On doit calculer premièrement le rang : R = (N+1)/2 = 5+1/2 = 3 Donc la Médiane = (n+1) ième = 13 7 Cas de distribution paire : 2, 5, 9, 7, 8, 6, 2, 3, 8, 4 10 observations = nombre pair Ordonnons la série:  2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9 Alors médiane = observation située ENTRE la nème et (n +1)ème Valeur médiane= dans intervalle [5 , 6] En toute, rigueur, il est impossible de dire autre chose (Il y a une infinité de solution). Mais dans la pratique on prend la demi-somme de ces deux valeurs (la moyenne arithmétique)  (5+6)/2 =5,5 Cas d’une variable continu : Salaire mensuel Ni ECC 1500-2000 26 26 2000-2500 12 38 2500-3000 11 49 3000-3500 6 55 3500-4000 5 60 Le calcul de la Médiane se fait en trois étapes : Première étape : détermination du rang de la médiane Rang de Me = Σnᵢ/2 =60/2 =30 ou Σfᵢ/2 = 50%.  Me correspond au salaire du 30ème individu Deuxième étape : déterminer la position de cet effectif cumulé nᵢ↗ détermination de la classe Médiane, on voit que le 30ème individu appartient à la classe [ 2000 -2500] Troisième étape : Trouver la valeur de la variable associée à cet effectif cumulé nᵢ↗ Car médiane = valeur de la variable  En utilisant l’interpolation linéaire : (Me-2000)/(2500-2000)=(30-26)/(38-26) donc Me =2000+ (500*4/12)= 2166,67 Dhs 50%des salaires < à 2166,67 Dhs et 50%des salaires >à 2166,67Dhs 8 Détermination de la médiane avec Excel : Me = 13 Il est impossible de déterminer la Médine d’une variable continue dans l’Excel. -Utilitaire d’analyse : Première étape : 9 Deuxième étape : Dans la ligne : colonne1 on a le classement des observations d’un ordre décroissent qui on peuvent le trouver manuellement par l’option suivante : Après on choisir l’option trier de plus grand au plus petit *pour avoir la ligne de position on doit utiliser la fonction excel suivante : 10 Ainsi que pour la ligne rang on a la fonction suivante : Moyenne arithmétique : La moyenne arithmétique est la plus ancienne méthode employée pour caractériser un ensemble de données et indiquer une tendance centrale. La moyenne arithmétique est la somme des observations divisée par le nombre n d’observations : Lorsque les données sont ordonnées sous forme de distribution de fréquence, la formule mathématique à appliquer est la suivante : 11 La moyenne arithmétique pondérée : Ce type de calcul de moyenne est employé lorsque les observations n’ont pas toutes une importance identique. Il est donc attribué un poids à chaque observation afin de réaliser la pondération. La moyenne arithmétique pondérée est donc égale à la moyenne des observations multipliées par leur poids, divisée par la somme des poids. Les quantiles : 1) Quartiles : Les quartiles sont trois valeurs qui séparent un ensemble de données placées en ordre croissant en quatre sous-ensembles comprenant exactement le même nombre uploads/Geographie/ analyse-de-position.pdf