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C. R. Mecanique 333 (2005) 187–195 http://france.elsevier.com/direct/CRAS2B/ Periodization of random media and representative volume element size for linear composites Karam Sab ∗, Boumediene Nedjar Institut Navier, LAMI, École nationale des ponts et chaussées, 6-8, avenue Blaise Pascal, Champs-sur-Marne, 77455 Marne-la-Vallée cedex 2, France Received 26 June 2004; accepted after revision 5 October 2004 Available online 7 January 2005 Presented by Pierre Suquet Abstract Several existing numerical studies show that the effective linear properties of random composites can be accurately estimated using small volumes subjected to periodic boundary conditions – more suitable than homogeneous strain or stress boundary conditions – providing that a sufﬁcient number of realizations are considered. Introducing the concept of periodization of random media, this Note gives a new deﬁnition of representative volume element which leads to estimates of its minimum size in agreement with existing theoretical results. A qualitative convergence criterion for the numerical simulations is proposed and illustrated with ﬁnite element computations. To cite this article: K. Sab, B. Nedjar, C. R. Mecanique 333 (2005). 2004 Académie des sciences. Published by Elsevier SAS. All rights reserved. Résumé Périodisation des milieux aléatoires et détermination de la taille du volume élémentaire représentatif des composites linéaires. Plusieurs simulations numériques montrent que les propriétés effectives linéaires des matériaux aléatoires peuvent être calculées sur de petits échantillons soumis à des conditions limites périodiques – plus adaptées que les conditions uniformes en contrainte ou en déformation – pourvu que le nombre d’échantillons considérés soit sufﬁsamment grand. En introduisant le concept de périodisation des milieux aléatoires, cette Note donne une nouvelle déﬁnition du volume élémentaire représenta- tif qui conduit à des estimations de sa taille minimale conformes aux résultats théoriques existants. Un critère qualitatif de convergence des simulations numériques est proposé et illustré par des calculs par éléments ﬁnis. Pour citer cet article : K. Sab, B. Nedjar, C. R. Mecanique 333 (2005). 2004 Académie des sciences. Published by Elsevier SAS. All rights reserved. Keywords: Computational solid mechanics; Homogenization; Periodization; Random media; Representative volume element Mots-clés : Mécanique des solides numérique ; Homogénéisation ; Périodisation ; Milieux aléatoires ; Volume élémentaire représentatif * Corresponding author. E-mail address: sab@lami.enpc.fr (K. Sab). 1631-0721/$ – see front matter 2004 Académie des sciences. Published by Elsevier SAS. All rights reserved. doi:10.1016/j.crme.2004.10.003 188 K. Sab, B. Nedjar / C. R. Mecanique 333 (2005) 187–195 Version française abrégée On observe dans les simulations numériques que la taille du volume élémentaire représentatif (VER) d’un milieu aléatoire linéaire peut être petite à condition d’utiliser des conditions limites périodiques et de faire la moyenne sur beaucoup d’échantillons [1–3]. L’objet de cette Note est d’expliquer cette observation et de faire le lien avec les estimations approchées de la taille du VER données dans [4]. On utilise pour cela le cadre théorique adapté à l’homogénéisation des milieux aléatoires [5,6]. Le milieu inﬁni est décrit par un espace de probabilité (Ω,A,P) où Ωreprésente l’ensemble des réalisations possibles ω ∈Ω. τtω est la réalisation obtenue lors d’une translation t. On suppose que τt a les propriétés (1) et (2) qui assurent l’homogénéité statistique du milieu. A chaque variable aléatoire réelle X :Ω→R est associé le processus statis- tiquement homogène (s.h.) X déﬁni par (3). On déﬁnit dans (4) la fonction de corrélation de deux processus s.h. de carré intégrable. Ici E est l’espérance mathématique. L’élasticité du milieu est décrite par ˜ c(ω,t), le proces- sus s.h. des tenseurs de rigidité. Pour un bi-phasé c(ω) = χ(ω)cI + (1 −χ(ω))cII où la fonction caractéristique ˜ χ(ω,t) = χ(τ−tω) de la phase I vaut 1 si t est dans la phase I, et 0 sinon. Sk est la probabilité (5) de trouver t1,...,tk dans la phase I. A titre d’exemple, on considère des inclusions sphériques de rayon R (phase II) aléatoi- rement distribuées dans une matrice (phase I) selon le processus de Poisson, avec interpénétration possible. Alors, ω = {xn, n ∈N} est l’ensemble des centres des inclusions, τtω = {xn + t, n ∈N}, χ(ω) = 1 si Infn |xn| > R, et = 0 sinon, et Sk est donné par (6) où vk,R(t1,...,tk) est le volume du domaine obtenu par la réunion des sphères de rayon R centrées en t1,...,tk, et ρ > 0 est le nombre moyen d’inclusions par unité de volume [7,8]. La détermination du tenseur d’élasticité homogénéisé Chom se fait par la résolution du problème auxiliaire (7), (8). En introduisant un milieu de comparaison homogène, C0, le tenseur de polarisation p = σ −C0 : (e∗+ E) est solution de (9) et rend stationnaire la fonctionnelle (11). Voir [9]. Ici, l’opérateur Γ 0 est déﬁni par (10). Il s’exprime en fonction du noyau de Green du milieu de comparaison lorsque les corrélations ⟨cijmnpkl⟩(t) sont dans L2(Rd). Dans ce cas, Chom est aussi donné par (12), (13). En fait, −C0 : e∗peut remplacer δp dans (12), (13) de manière équivalente. On se restreint dans la suite aux matériaux bi-phasés. L’idée de la périodisation est de construire une suite (ΩL,AL,PL)L>0 d’espaces de probabilité statistiquement homogènes sur le sous-ensemble ΩL ⊂Ωdes réalisa- tions L-périodiques (14) telle que (15). Ici {e1,...,ed} est la base canonique de Rd. Le tenseur effectif Chom,L relatif au milieu périodisé est donné par (16), où l’opérateur Γ 0,L est celui de l’homogénéisation périodique clas- sique sur la cellule de base cubique de taille L, V L. Une analyse de Fourier [11] montre que cet opérateur a la propriété (18) où ⟨cijmnpL kl⟩∞est déﬁni par (17). Comparant les Éqs. (12), (13) et (16)–(18), on s’attend à (19) et à la convergencede Chom,L vers Chom pour L croissant. On dit que V L est un ϵ-VER si (20) est vraie. Ici ∥·∥est une norme sur Rd × Rd . En effet, pour une périodisation idéale telle que ELc = Ec et ⟨cijmnpL kl⟩∞(t) = ⟨cijmnpkl⟩(t), ∀t ∈V L, ϵ serait l’erreur relative entre Chom,L et Chom. Les périodisations couramment utilisées ne sont pas idéales au sens précédent et introduisent une erreur supplémentaire. Donc, pour une erreur relative ϵ donnée, il faut géné- ralement adopter dans les calculs une cellule de base de taille supérieure à celle du ϵ-VER. On sait d’après [10] que ⟨cijmnpkl⟩est fonction de C0, cI , cII et de toutes les fonctions Sk. L’approxi- mation utilisée dans [4] consiste à se restreindre dans (11) aux tenseurs de polarisation constants par phase : pHSW(ω)=χ(ω)pI + (1 −χ(ω))pII. Les corrélations ⟨cijmnpHSW kl ⟩s’expriment alors en fonction de C0, cI , cII, pI , pII, S1 et S2, et on établit à l’aide de (6) qu’elles s’annulent pour |t| ⩾D = 2R dans le cas du bi-phasé décrit ci-dessus. D’après la déﬁnition 2, si on se restreint à la statistique d’ordre 2, une estimation de la taille minimale du VER est 2D, pour tout contraste entre les phases et tout ϵ. La périodisation du bi-phasé est comme suit : les centres des inclusions dans V L sont tirés selon un processus ponctuel de Poisson, puis ils sont étendus par L-périodicité à tout l’espace. On obtient un milieu s.h. dont chaque réalisation est L-périodique avec les fonctions SL k données par (21) où l’on tient compte dans le calcul du volume vL k,R de toutes les images par périodicité des inclusions simulées dans V L. Les propriétés (22) sont faciles à établir. K. Sab, B. Nedjar / C. R. Mecanique 333 (2005) 187–195 189 Enﬁn, aﬁn d’illustrer l’analyse théorique, une simulation par éléments ﬁnis 2D avec le code CESAR-LCPC (éléments Q4 longueur/D = 1 16 π 2 ) a été réalisée dans le cas où les deux phases sont isotropes (coefﬁcient de Poisson 0.3 identique, contrastes 10 et 100 sur les modules de cisaillement, S1 = 0,5). Les valeurs L/D (1,253, 2,507, 5,013 et 10,026) correspondant à 16 × 16, 32 × 32, 64 × 64 et 128 × 128 éléments ont été considérées. Les techniques de transformée de Fourier rapide ont été utilisées pour le calcul des fonctions de corrélation. Les résultats sont synthétisés dans le Tableau 1 et 2 où G représente la moyenne du module de cisaillement normalisé, s son écart-type, n le nombre d’échantillons est tel que 1,96 s √n G ⩽0,02. L’évaluation numérique de S1 est aussi donnée. La Fig. 1 montre que la fonction de corrélation normalisée ⟨χeL 12⟩pour L/D = 10,026 est négligeable en dehors d’un disque de rayon D. La taille minimale du VER est donc 2D, ce qui est en accord avec les estimations de la statistique d’ordre 2. Par ailleurs, d’après le Tableau 2 et la Fig. 2 qui montre un proﬁl diagonal de la Fig. 1 pour trois valeurs de L/D, on voit que les prédictions du milieu périodisé ne sont pas bonnes pour L/D = 2,507. Elles le deviennent pour L/D = 5,013 lorsque δc(0) et δpL(t) ne sont plus corrélés pour t près du bord de V L. Pour les forts contrastes, la convergence de Chom,L vers Chom a donc lieu pour une taille supérieure à la taille minimale du VER. 1. Introduction Several existing numerical studies [1–3] show that uploads/Geographie/ article-periodization-of-random-media-and-representative.pdf