Bifurcations locales, variétés centres et formes normales pour certaines équati

Bifurcations locales, variétés centres et formes normales pour certaines équations différentielles à retard avec application en épidémiologie DEPARTEMENT DES MATHEMATIQUES Master Mathématique et Application au Calcul Scientifique (MACS) MEMOIRE DE FIN D’ETUDES Pour l’obtention du Diplôme de Master Sciences et Techniques (MST) Réalisé par : Noureddine OUHADDOU Encadré par : Pr. Redouane QESMI Soutenu le 5 novembre 2021 Devant le jury composé de : - Pr. Rachid EL AYADI Faculté des sciences et techniques Fès - Pr. Azzeddine EL BARAKA Faculté des sciences et techniques Fès - Pr. Fatima EZZAKI Faculté des sciences et techniques Fès - Pr. Redouane QESMI Ecole supérieure de technologie Fès Année Universitaire 2020 / 2021 FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES FES – SAISS  B.P. 2202 – Route d’Imouzzer – FES  212 (0)5 35 61 16 86 – Fax : 212 (0)5 35 60 82 14 Site web : http://www.fst-usmba.ac.ma À MES PARENTS À MA GRAND-MÈRE À MES FRÈRES À MA S×UR OUHADDOU Noureddine i Remerciements Je remercie mon Dieu qui m'a donné la volonté, la patience, et surtout la santé durant toutes mes années d'étude. Mes profonds remerciements à mes premiers fans, mes parents pour leur soutien quotidien infaillible, merci à leur enthousiasme débordant qui a été pour moi pilier fondateur de mon action, sans eux je n'aurais jamais pu réaliser ce travail. J'exprime ma profonde gratitude à mon encadreur Mr. QESMI Redouane pour son soutien inoubliable et je le remercie encore pour le sujet qu'il m'a proposé et pour son suivi permanent enrichi de beaucoup d'encouragement, ses remarques et suggestions sans lesquelles ce mémoire n'aurait pas lieu. Mes vifs remerciements vont également aux membres du jury pour l'intérêt qu'ils ont porté à ma recherche en acceptant d'examiner mon travail et de l'enrichir par leurs propositions. Par ailleurs, puisque l'occasion se présente ici, je remercie également les autres membres de ma famille, tout spécialement mes frères, ma s÷ur, mes cousin(e)s ainsi que tous mes amis, qui m'ont toujours soutenu, même à distance. Un grand merci aussi à tous mes collègues de l'option master MACS. Je tiens en n à remercier tous ceux qui ont contribué d'une façon ou d'une autre à la réalisation de ce travail. ii Table des matières Introduction 1 1 Préliminaires 4 1.1 Équation diérentielle à retard général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Existence, unicité et prolongement des solutions . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Comparaison avec les équations diérentielles ordinaires . . . . . . . . . . 7 1.2 Équation diérentielle à retard linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Semi-groupe associé à l'existence des solutions et son générateur . . . . . 8 1.2.2 Décomposition spectrale de l'espace de phases . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Décomposition de C par l'équation formelle adjointe . . . . . . . . . . . . 12 1.2.4 Estimations sur le sous espace complémentaire . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Équation diérentielle à retard linéaire non homogène . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1 Formule de variation de la constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.2 Décomposition de la formule de variation de la constante . . . . . . . . . 16 1.4 Équation diérentielle à retard autonome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.1 Points d'équilibres hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.2 Points d'équilibres non hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.3 Notions de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.4 Variétés centres local pour les équations diérentielles à retard . . . . . 20 1.4.5 Formes normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5 Bifurcation locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5.1 Bifurcation à un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Calcul des variétés centres pour les EDFRs associées à la singularité de Fold 26 iii 2.1 Linéarisation autour d'une solution particulière (équilibre) . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Schémas de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.1 Calcul des termes d'une variété centre pour les EDFRs . . . . . . . . . . 28 3 Variétés centres pour les EDFRs paramétrées associées à la singularité de Fold 35 3.1 Schémas de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.1 Caractérisation d'une variété centre local avec paramètre . . . . . . . . . 38 3.1.2 Calcul des variétés centres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.3 Calcul des formes normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4 Exemple d'application 50 Conclusion 57 Bibliographie 58 iv Introduction L a modélisation mathématique de certains problèmes naturels conduit généralement à des modèles qui sont continus. Dans ces modèles, on suppose que l'évolution au cours du temps se fait de manière continue. Ils sont présentés par des équations diérentielles, des équa- tions aux dérivées partielles ou par des équations intégrales. Les équations diérentielles à retard surviennent dans certains modèles dont l'état à un instant donné, est une fonction qui dépend de son passé. On peut rencontrer ces équations dans plusieurs domaines d'applications, notamment en économie, physique, médecine, biologie, écologie etc. En eet, dans certains phénomènes, on s'est aperçu que la connaissance de la solution en un point ne su t pas pour décrire l'évolution sur un intervalle de temps donné. La signi cation du retard dans un tel ou tel modèle peut être diérent : période d'incubation d'une maladie contagieuse, temps d'accumulation, temps nécessaire pour la maturation des cellules ou la transformation d'un type de cellules en un autre, etc. Les systèmes dynamiques ne sont pas similaires, il existe deux types de systèmes : les systèmes stables et les systèmes instables, les systèmes dynamiques peuvent avoir aussi de diérents comportements asymptotiques en fonction des valeurs de leurs paramètres. Il peut donc exister certaines valeurs pour lesquelles le comportement du système passe d'un état qualitatif à un autre. Ce changement d'état qualitatif est une bifurcation et la valeur du paramètre associée est appelée valeur de bifurcation, les diérentes bifurcations sont répertoriées en fonction de leurs caractéristiques mathématiques. Dans les mathématiques des systèmes évolutifs, le concept de la variété centre a été initiale- ment développé pour déterminer la stabilité des équilibres dégénérés. Par la suite, on a réalisé que le concept de la variété centre était fondamental pour la modélisation mathématique. La théorie des variétés centres joue un rôle important dans l'étude de la stabilité des sys- 1 tèmes dynamiques lorsque le point d'équilibre n'est pas hyperbolique. La combinaison de cette théorie avec l'approche de la forme normale a été largement utilisée pour étudier les systèmes dynamiques paramétrés présentant des bifurcations. Le théorème des variétés centres fournit, dans ce cas, un moyen de réduire systématiquement la dimension des espaces d'état qui doivent être considérés lors de l'analyse des bifurcations du type donné. En fait, après avoir déterminé la variété centre, l'analyse de ces systèmes dynamiques paramétrés est basée uniquement sur la restriction du système original uploads/Geographie/ bifurcations-locales-varietes-centres-et-formes-normales-pour-certaines-equations-differentielles-a-retard-avec-application-en.pdf

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