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CHAPITRE 1 LOIS DISCRETES USUELLES 2 loi de Bernouilli o Définition : nous diro

CHAPITRE 1 LOIS DISCRETES USUELLES 2 loi de Bernouilli o Définition : nous dirons qu’une variable aléatoire discrète est une indicatrice ou suit une loi de Bernoulli de paramètre p si elle ne prend que deux valeurs 0 et 1 avec les probabilités : p et (1-p). o Cette définition est issue d’une expérience qu’on appelle expérience ou épreuve de Bernouilli. loi de Bernouilli o Une épreuve de Bernouilli est une expérience aléatoire dont l ’ensemble des résultats peut se résumer à deux états: 1) un succès 2) un échec. o Nous noterons la probabilité d ’un succès p et celle d ’un échec q = 1-p. o On dit que X suit la loi de Bernouilli ssi: [ ] [ ]    − = = = = p X P p X P 1 0 1 4 Exemples: 1- On lance une pièce de monnaie et on définit un succès par « pile » et un échec par « face »: p = 1/2 et q = 1/2. 2- Un jeu de roulette contient 38 cases, 18 sont rouges, 18 sont noirs et 2 sont vertes. Les cases gagnantes sont les cases rouges: p = 18/38 (= 9/19) et q = 20/38 (= 10/19). 5 On effectue un sondage auprès de 2500 électeurs en vue de connaître leur intention de vote pour le candidat M. LM. Les réponses sont oui pour M. LM ou non pour M. LM Supposons que la proportion des oui dans l’échantillon est égale à 55%. Si on considère « obtenir oui » est un succès alors la variable aléatoire de Bernouilli est définie par: Exemple d’application: [ ] [ ]    = = = = 45 , 0 0 55 , 0 1 X P X P 6 Loi de probabilité binômiale Définition: Considérons une expérience aléatoire qui consiste à répéter n fois de suite, et de façon indépendante, une même épreuve de Bernouilli. Définissons X = le nombre de succès obtenus au cours de ces n épreuves. 7 Alors, X est une variable aléatoire discrète avec une loi de probabilité que l ’on appelle binômiale de paramètres n et p, où n = le nombre d’épreuves (d’essais) p = probabilité de succès à chaque épreuve Notation: X →B(n ; p). 8 Exemple: On lance 10 fois une pièce de monnaie. Quelle est la probabilité de voir le côté « Pile » apparaître trois fois? Les cas possibles sont: (P,P,P,F,F,F,F,F,F,F); (P,F,P,F,P,F,F,F,F,F)…. Il y’a possibilités. 3 10 C Exemple: 7 3 3 10 2 1 2 1             = C P On applique la propriété de l’intersection Des événements indépendants pour calculer la probabilité de voir le côté « Pile » apparaître trois fois: 10 Fonction de probabilité d ’une variable soumise à une loi binômiale Dans notre exemple, X peut prendre les valeurs suivantes: S = {0, 1, 2, 3, 4,…,10} Nous voulons maintenant établir le tableau de la distribution de probabilités de cette variable, soit: xi 0 1 2 3 ….. 10 p(xi) = P[X = xi] 11 Dénombrements Si X=0, alors aucun succès, i.e. 10 échecs: Si X=1, alors 1 succès et 9 échecs: Et ainsi de suite pour X=2, X=3… et X=10. E E ….. E S E ….. E E S ….. E E E S E …… ….. …… …… E E …… S 12 Formule générale de p(k) pour une loi binômiale Soit X une variable aléatoire discrète avec une loi de probabilité binômiale de paramètres n et p, c.-à-d. X→B( n ; p), alors, S = {0, 1, 2, 3, …, n} n} ..., 3, 2, 1, {0, k q p C ] P[X p(k) k - n k k n ∈ ∀ = = = k Exemple Dans une urne il y a 3 boules blanches et 2 noires. On tire au hasard 1 boule et on la remet. On répète 4 fois cette épreuve. Considérons X la variable aléatoire qui compte le nombre de boules blanches obtenues. Justifions que X suit la loi binomiale dont on donnera les paramètres. On répète 4 fois la même épreuve de manière identique et indépendante. Exemple Chaque épreuve a deux éventualités : Le succès : « on a tiré une boule blanche » avec la probabilité p=3/5. L’échec : « on a une boule noir » avec la probabilité q=1-p=2/5. X suit la loi binomiale B(4,3/5). Exemple 4 3 3 4 2 2 2 4 3 1 4 4 5 3 ) 4 ( 5 2 5 3 ) 3 ( 5 2 5 3 ) 2 ( 5 2 5 3 ) 1 ( 5 2 ) 0 (       = =             = =             = =             = =       = = X P C X P C X P C X P X P 16 Espérance et variance d ’une variable soumise à une loi binômiale Théorème: Si X→B( n ; p) alors, E [X] = np V [X] = npq Revenons à l’exemple précédent E [X] = 4 x 3/5 =12/5 V [X] = 4 x 2/5 x 3/5 = 24/5 17 Somme de variables soumises à des lois binômiales Théorème: Soit X1 →B(n1;p), X2 →B(n2;p), …, Xn → B(nn;p), n variables aléatoires discrètes binômiales indépendantes les unes des autres. Soit Y = X1+ X2+ …+ Xn , alors Y→B(n1 + n2 + … + nn ; p). 18 Loi de probabilité de Poisson Soit λ > 0 et X une variable aléatoire telle que S={0, 1, 2, 3, …} , c.-à-d. S est l ’ensemble des nombres entiers, et alors X est une variable aléatoire discrète soumise à une loi de Poisson de paramètre λ, et noté X→P(λ).      ∈ ∀ = = = ailleurs 0 N k k! e k] P[X p(k) k - λ λ 19 Espérance et variance d ’une variable soumise à une loi de Poisson Théorème: Si X→P(λ) alors, E [X] = λ et V [X] = λ . Exemple: Une compagnie d ’assurances reçoit, en moyenne, 4,5 réclamations par jour. Déterminer la probabilité que, durant une certaine journée, le nombre de réclamations reçues soit inférieur ou égale à 2. 20 Exemple (suite) : Soit X = nombre de réclamations reçues dans une journée. On suppose que X→P(λ = 4,5). P[ X ≤2 ] = p(0) + p(1) + p(2) = 0,0111 + 0,0500 + 0,1125 = 0,1736 ! 2 ) 5 , 4 ( e ! 1 ) 5 , 4 ( e ! 0 ) 5 , 4 ( e 2 5 , 4 - 1 5 , 4 - 0 5 , 4 - + + = EXEMPLE Un standard téléphonique reçoit en moyenne 0,7 appel à la minute. Quelle est la probabilité pour que, entre 09 h 59 et 10 h, il reçoive : a) 0 appel b) 1 appel c) plus d'un appel EXEMPLE Soit X la loi de survenance des appels qui suit la loi de Poisson P(0,7). a) P("0 appel") = P(X=0) = e-0,7 *0,7^0 /0! =0,4966 b) P("1 appel") = P(X=1) = e-0,7* 0,7^1 /1! = 0,3476 c) P("plus d'un appel ") = 1 - P(X ≤1) = 1 - (P(X=0) + P(X=1)) = 0,1558 23 Théorème: approximation d ’une loi binômiale par une loi de Poisson Soit X→B(n ; p) , si n →∞(c ’est-à-dire si n est grand) et si p →0 (c ’est-à-dire si p est petit) alors X→≈P(λ) où λ = np . Plus n est grand et p petit, plus cette approximation est juste. En pratique, nous considérons qu ’elle est valable lorsque n ≥50 et np ≤10. EXEMPLE Dans une chaîne de fabrication, 5% des pièces sont défectueuses ; on prélève une pièce, on examine si elle est défectueuse et on la replace parmi les autres. On répète 120 fois cette expérience. On désigne par X la variable aléatoire qui à chaque tirage de 120 pièces associe le nombre des pièces défectueuses. 1°X suit la loi binomiale, précisez ses paramètres. 2°Calculer la probabilité que le nombre de pièces défectueuses soit égale à 5? 3°Peut-on approximer cette loi par une loi poissonnienne? Calculer dans ce cas la probabilité ci-dessus. uploads/Geographie/ chapitre-1 9 .pdf