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Chapitre 10 Variables aléatoires Sommaire 10.1 Activités . . . . . . . . . . .

Chapitre 10 Variables aléatoires Sommaire 10.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 10.2 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 10.2.1 Vocabulaire des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 10.2.2 Expériences aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 10.3 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 10.3.1 Loi de probabilité sur un univers Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 10.3.2 Une situation fondamentale : l’équiprobabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 10.3.3 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 10.4 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 10.4.1 Les situations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 10.4.2 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 10.4.3 Loi de probabilité d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 10.4.4 Espérance, variance, écart type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 10.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 10.1 Activités ACTIVITÉ 10.1 (Arbres pondérés). On dispose : • d’une urne contenant quatre boules insdiscernables au toucher dont trois boules bleues portant res- pectivement les numéros 1, 2 et 3, notées b1, b2 et b3, et une boule rouge unique, notée r ; • d’un jeu de six cartes identiques portant chacun un chiffre en couleur : une carte avec un chiffre 1 en vert, une carte avec un chiffre 2 en rouge, une carte avec un chiffre 2 en bleu, une carte avec un chiffre 2 en vert, une carte avec un chiffre 3 en rouge et une carte avec un chiffre 3 en bleu. On considère l’expérience aléatoire suivante : « On prélève de façon équiprobable une boule dans l’urne puis une carte du jeu. On note, dans l’ordre, la couleur de la boule extraite et le numéro inscrit sur la carte ». On note Ωl’ensemble de toutes issues possibles et p(A) la probabilité d’un évènement A. 1. Construire l’arbre des possibles et en déduire Ω. Est-on dans une situation qu’équiprobabilité? 105 10.1 Activités Première S 2. (a) Construire un arbre, que nous appelerons « modèle intermédiaire », qui prenne en compte, pour la boule extraite, non seulement sa couleur mais aussi son numéro et, pour la carte, non seule- ment le numéro mais aussi sa couleur. (b) A-t-on équiprobabilité entre chacun des chemins? (c) En déduire les probabilités de chacun des évènements élémentaires de Ω. On présentera les résultats sous forme de tableau du type : ωi ω1 ω2 ... p(ωi) p(ω1) p(ω2) ... Remarque. Lorsqu’on détermine pour chaque évènement élémentaire sa probabilité, on dit qu’on décrit la loi de probabilité. 3. L’arbre du modèle intermédiaire, nous ramenant à une situation d’équiprobabilité, nous a permis de décrire la loi de probabilité. Cependant il est un peu lourd. Essayons de l’alléger. (a) Refaire l’arbre des possibles en ajoutant devant chaque éventualité des branches multiples : au- tant qu’on en peut trouver sur le modèle intermédiaire qui mènent à cette éventualité. (b) Refaire l’arbre des possibles de la manière suivante : i. Remplacer ces branches multiples par des branches simples mais en indiquant le nombre de branches qu’il devrait y avoir. On obtient alors un arbre pondéré (chaque branche ayant un poids). ii. Combien de chemins du modèle intermédiaire terminaient sur l’évènement élémentaire (r,2)? Comment pourrait-on retrouver ce nombre à partir de l’arbre précédent? (c) Refaire l’arbre des possibles de la manière suivante : i. Pondérer chaque branche, non plus avec le nombre de branches multiples qu’il devrait y avoir, mais avec le quotient de ce nombre par le nombre total de branches qu’il devrait y avoir à ce même niveau. ii. Quelle est la probabilité de l’évènement élémentaire (r,2)? Comment pourrait-on retrouver cette probabilité à partir de l’arbre précédent? ACTIVITÉ 10.2 (Fille ou garçon). On se propose d’utiliser le tableur pour résoudre le problème suivant : « Monsieur X est invité chez des nouveaux amis qu’il sait très joueurs mais qu’il connait à peine. Au cours de la conversation il apprend que ses nouveaux amis ont deux enfants mais il oublie de demander leur sexe. Soudain l’un de ces deux enfants entre dans la salle. Il s’agit d’un garçon. “– Vous avez donc un garçon et ...? demande-t-il – Je parie que tu ne devineras pas. Sur quoi mises-tu? un gars? une ﬁlle?” Sur quoi doit miser monsieur X pour maximiser ses chances de clore le bec à ces amis un peu lourds avant de prendre congé? » On suppose pour simpliﬁer les choses qu’un enfant sur deux qui nait est une ﬁlle et l’autre un gar- çon. 1. Que conjecturez-vous a priori quant au sexe de l’autre enfant? 2. On se propose d’utiliser la colonne A pour simuler le sexe du premier enfant, la colonne B pour celui du second enfant et la colonne C pour compter le nombre de garçons. Proposer une formule utilisant la fonction ALEA (ou ALEA.ENTRE.BORNES avec Calc) per- mettant de simuler le sexe d’un enfant dans les cases A1 et B1 et une formule adaptée pour compter le nombre de garçons de la fratrie dans la case C1. Demander au professeur de valider les deux formules avant d’aller plus loin. 106 http://perpendiculaires.free.fr/ Première S 10.1 Activités 3. « Tirer la poignée » verticalement de façon à simuler 100 familles de deux enfants. 4. Dans la plage F4 : J5 dresser un tableau de la forme suivante : Nombre de garçons 0 1 2 total Effectif où les cases Effectif seront automatiquement complétées par le tableur (utiliser la fonction NB.SI) 5. En appuyant plusieurs fois sur la touche F9 (Excel) ou CTRL+MAJ+F9 (Calc), indiquer autour de quels effectifs semblent osciller les types de famille. 6. Puisque l’un des enfants est un garçon, quel type de famille doit-on exclure? En observant les types de famille restants, déterminer sur quel sexe doit miser Monsieur X et dans quelle proportion il a des chances de gagner son pari. Votre conjecture est-elle validée? ACTIVITÉ 10.3 (Loi des grands nombres). On donne l’algorithme suivant, écrit en langage courant : Entrée(s) FACE : entier entre 1 et 6 LANCERS : entier naturel Initialisation EFFECTIF ←0 Traitement Pour k allant de 1 à LANCERS DE ←nombre aléatoire entre 1 et 6 Si DE = FACE alors EFFECTIF ←EFFECTIF + 1 Fin pour FREQUENCE ←EFFECTIF / LANCERS Sortie FREQUENCE On se propose de l’étudier puis de l’étoffer et en- ﬁn de le modiﬁer pour qu’il fasse autre chose. Partie A : Étude de l’algorithme 1. Que fait cet algorithme? 2. Le programmer sur Python et le faire fonc- tionner pour la face de votre choix, en fai- sant plusieurs essais uploads/Geographie/ chapitre-10-variables-aleatoires-sommaire.pdf