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Lycée Vauvenargues PTSI Cinématique page 1 / 30 CINEMATIQUE But : Le but de la

Lycée Vauvenargues PTSI Cinématique page 1 / 30 CINEMATIQUE But : Le but de la cinématique est de modéliser les mouvements des pièces d’un système mécanique, sans s’intéresser aux causes qui les produisent. On cherchera les relations entre ces mouvements, en vue de vérifier les performances d’un système et/ou choisir des caractéristiques des actionneurs. Ch 1. : POSITION D’UN SOLIDE. ETUDE GEOMETRIQUE D’UN SYSTEME Objectifs : - définir la position à un instant donné entre des ensembles mobiles - définir des mouvements simples - réaliser la modélisation géométrique d’un système, - déterminer la loi entrée/sortie d’un système à partir de son paramétrage. - déterminer la trajectoire d’un point / repère Introduction : Le mouvement d’un solide peut être caractérisé par le déplacement (ou variation de position) de ce solide au cours du temps. Il est donc nécessaire de définir :  ce qu’on appelle un solide  des repères liés à chaque solide afin de quantifier les variations de position  une base de temps pour observer les variations de position de ces repères entre eux. 1. Définition d’un solide Un solide est un ensemble de points matériels de masse constante, indéformable. C’est grâce à cette indéformabilité qu’on pourra établir une relation entre les vitesses de 2 points différents d’un même solide. 2. Repère lié à un solide A chaque solide va être lié un repère : Le déplacement d’un solide par rapport à un autre solide sera modélisé par le déplacement d’un repère par rapport à un autre repère. Les repères seront toujours choisis orthonormés directs Rcabine Rechelle sup Rechelle inf Rcamion Rembase = solide ≠ solide Un ensemble de pièces en liaison encastrement sera considéré comme un seul et même solide (que l’on nommera ensemble cinématique). Lycée Vauvenargues PTSI Cinématique page 2 / 30 Un repère R0 est constitué d’un point origine O et de trois axes orthogonaux directs ( , ) O x ,( , ) O y et ( , ) O z liés à l’espace. Le repère R0 se note   0 , , , R O x y z . On associe de plus à chaque repère une base B0 orthonormée directe de trois vecteurs , i j et k . On note 0( , , ) B i j k la base liée au repère R0. La base est prise directe et orthogonale : - on passe de i à j par rotation autour de k d’un quart de tour dans le sens positif, soit / 2   ou +90°, ( , ) / 2 i j   , - on passe de j à k par rotation autour de i d’un quart de tour dans le sens positif, soit / 2   ou +90°, ( , ) / 2 j k   , - on passe de k à i par rotation autour de j d’un quart de tour dans le sens positif, soit / 2   ou +90°, ( , ) / 2 k i   . Convention : La convention de sens pour un angle dans l’espace est la suivante : le sens positif de rotation autour de l’axe ( , ) A u est le sens trigonométrique lorsque l'on regarde l’angle balayé avec le vecteur n sortant (c’est à dire vers soi). u  Plan perpendiculaire A n r 0   A Sens + n r  n r Vue de face n r sortant n r rentrant Cas classique Cas particulier  n r On parle indifféremment de sens : positif, direct, trigonométrique, voir tout simplement de sens plus, et dans le cas opposé, de sens : négatif, indirect, horaire, voir tout simplement de sens moins. Astuce : la base (pouce, index, majeur) de la main droite est directe. 3. Système de référence Base de temps : Une position est définie à un instant donné t. On définit l’origine des temps t=0 comme l’instant à partir duquel on observe le mouvement. L’écoulement du temps s’exprimera en secondes. Système de référence : Le référentiel, appelé aussi système de référence, est la combinaison d’un repère d’espace et d’un repère de temps. Il permet à deux observateurs différents qui adoptent ce référentiel de décrire le mouvement de la même manière. En mécanique classique, on utilisera un référentiel lié à la terre, ou lié à un solide immobile par rapport à la terre. futur passé t = 0 instant initial instant t1 durée t = t2 – t1 instant t2 vers les t > 0 y z x R0 O Référentiel ou Système de référence Repère de temps Repère d’espace y z x repère :   0 , , , R O x y z base associée : 0( , , ) B i j k O i j k Lycée Vauvenargues PTSI Cinématique page 3 / 30 O O1 1 y 1 x 1 z O O1 1 y 1 x 1 z 4. Position d’un solide par rapport à un autre solide Cela revient à positionner, à un instant donné, un repère R1 par rapport à un autre repère R0. Il faut donc :  positionner O1 dans R0 Dans le cas général on a besoin de 3 coordonnées On peut choisir des coordonnées cartésiennes, cylindriques, ou sphériques selon la nature des déplacements possibles de O1 (Voir annexe 1 coordonnées d’un point)  orienter R1 / R0 Dans le cas général on a besoin de 3 angles (angles d’Euler par exemple) (Voir annexe 2 angles d’Euler) Dans le cas général, 6 paramètres, appelés paramètres de position, sont nécessaires. On dit qu’il y a 6 degrés de liberté entre les 2 solides. 5. Cas particuliers 51. Un seul paramètre de position angulaire entre les 2 repères : C’est le cas des liaisons pivots, d’axe par exemple ici (O,x0) 52. Un seul paramètre linéaire entre les 2 repères : C’est le cas des liaisons pivots, d’axe par exemple ici (O,x0) 53. Un paramètre linéaire et un paramètre angulaire entre les 2 repères : C’est le cas des liaisons pivots glissants, d’axe par exemple ici (O,x0). Ces paramètres de position sont des valeurs algébriques dépendant du temps, définies par une origine et une extrémité, et qui peuvent donc être positives ou négatives. y0 O  y1 z1 x0 = x1 z0  λ Système réel Paramétrage Schématisation Lycée Vauvenargues PTSI Cinématique page 4 / 30 6. Modélisation cinématique d’un système mécanique. Paramétrage. Le paramétrage d’un système consiste à associer à chaque solide ou ensemble cinématique un repère et de situer ces repères les uns par rapport aux autres selon la nature des liaisons en introduisant les paramètres de liaison associés de type translation(s) ou rotation(s). On commence par repérer ces différents solides, puis on identifie les mouvements possibles entre 2 solides en liaisons (reliés entre eux par des surfaces de contact). On donne une représentation schématique des solides sous forme de traits, reliant les symboles des liaisons définies précédemment. Il faut respecter la position des points caractéristiques des liaisons, et les directions caractéristiques de ces liaisons. Souvent ce paramétrage est réalisé sur le schéma cinématique du système lorsqu’il le permet. Il est ensuite généralement complété des figures planes permettant de définir tous les axes et points caractéristiques du mécanisme. Exemple : modélisation cinématique d’un robot 5 axes. Bien que ce robot soit constitué de nombreuses pièces, il est possible de considérer uniquement 5 ensembles cinématiques. Le bras 1 est en liaison pivot d’axe 1 0 ( , ) O z avec le bâti 0. L’épaule 2 est en liaison pivot d’axe 2 2 ( , ) O y avec le bras 1. Le coude 3 est en liaison pivot d’axe 3 3 ( , ) O y avec l’épaule 2. Le poignet 4 est en liaison pivot d’axe 4 4 ( , ) O y avec le coude 3. La pince 5 est en liaison glissière de direction 4 x avec le poignet 4. cette représentation normalisée du système s’appelle le schéma cinématique A chaque ensemble cinématique, considéré comme un solide indéformable, on associe un repère, généralement, d’origine le centre d’une liaison et d’axes les axes selon les dimensions caractéristiques du groupe cinématique. Par exemple, dans la figure ci-contre, le repère 1 1 1 1 1 ( , , , ) R O x y z est associé au bras 1. Lycée Vauvenargues PTSI Cinématique page 5 / 30 7. Fermeture géométrique. Loi entrée-sortie d’un système La loi entrée/sortie d’un système est la relation entre le(s) paramètre(s) d’entrée et le(s) paramètre(s) de sortie du système. Elle s’obtient par une écriture vectorielle (à choisir) projetée dans une des bases (à choisir, souvent la base du repère fixe associé au référentiel terrestre), afin de mettre en relation le(s) paramètre(s) d’entrée et de sortie. Les paramètres d’entrée sont généralement les rotations des moteurs ou les translations des vérins. C’est ce qui provoque les mouvements. Les paramètres de sortie sont les mouvements recherchés pour par exemple valider les performances d’un système. La loi entrée/sortie d’un système est obtenue uploads/Geographie/ cinematique-ch-1-position-d-un-solide-etude-geometrique-d-un-systeme.pdf