MPSI - 2021/2022 - Physique-Chimie - TD 0 Lycée Jean Moulin (Forbach) page 1/5

MPSI - 2021/2022 - Physique-Chimie - TD 0 Lycée Jean Moulin (Forbach) page 1/5 Correction TD 0 : Grandeurs physiques et analyse dimensionnelle □Exercice 1 : Déterminer la dimension d’une grandeur. : 1. On donne λ = c/f où c est une vitesse et f une fréquence. Déterminer la dimension de λ. 2. La norme F de la force gravitationnelle entre une masse M et m s’écrit : F = GMm/d2 avec d la distance entre les deux masses. Déterminer la dimension de G. Correction 1 : 1. On sait que [c] = L.T −1 et [f] = T −1. Donc [λ] = [c] [f] = L.T −1.T = L. Au final, on a [λ] = L (c’est la longueur d’onde). 2. On a ⃗ F = m⃗ a donc [F] = M.L.T −2. D’où [G] = [F].[d]2 [M].[m] = M.L.T −2.L2.M−2 Donc [G] = M−1.L3.T −2 . □Exercice 2 : Homogénéité des formules. Analyser l’homogénéité des expressions suivantes : — Req = 1 R1 + 1 R2 ,où Req,R1 et R2 sont des résistances électriques. — u(t) = E cos (t2) , où u(t) est la tension au cours du temps aux bornes du dipôle soumis à la tension E. — x(t) = g.t2 2 +v0.t+d, où x(t) est l’abscisse d’un mobile lancé avec la vitesse v0 à la position x0 = d et g est l’accéleration de la pesanteur. Correction 2 : — On a [Req] ̸= [ 1 R1]. Le terme de droite n’ayant pas la même dimension que le terme de gauche, l’équation n’est pas homogène . — D’après l’énoncé on a [t] = T donc [t2] = T 2. Comme l’argument du cosinus n’est pas sans dimension, l’équation n’est pas homogène . — On a [x(t)] = L. Pour le terme de droite, on a : [g.t2 2 ] = (L.T −2).T 2.1 = L [v0.t] = (L.T −1).T = L [d] = L Tous les termes sont homogènes à une longueur, l’équation est donc homogène . □Exercice 3 : Utiliser l’analyse dimensionnelle pour prédire des pro- portionnalité entre grandeurs. La période T d’un satellite terrestre circulaire peut dépendre, a priori, de M la masse de la Terre, du rayon R du cercle décrit et de la constante de la gravitation universelle G. Déterminer, par une analyse dimensionnelle, l’expression de la période T. Correction 3 : Grandeur : T Paramètres : M,G,R Cherchons sous la forme : T = kMα.Gβ.Rγ avec k une constante et [k] = 1. [T] = [k][Mα].[Gβ].[Rγ] (voir exercice 1 pour [G]) [T] = 1.Mα.(M−β.L3β.T −2β).Lγ On a alors le système :      α −β = 0 3β + γ = 0 −2β = 1 d’où :      α = −1 2 β = −1 2 γ = 3 2 Ainsi, on a l’expression : T = k s R3 MG (C’est une des trois lois de Kepler.) MPSI - 2021/2022 - Physique-Chimie - TD 0 Lycée Jean Moulin (Forbach) page 2/5 □Exercice 4 : Vitesse d’un satellite. La vitesse d’un satellite en orbite circulaire autour de la Terre est : V (z) = Rαgβ √ R + z avec R = 6380 km ; g = 9,8 m s−2 et z, l’altitude au dessus du niveau de la mer. 1. Trouvez les coefficients α et β par analyse dimensionnelle. 2. Déterminez la vitesse V pour z = 200 km Correction 4 : 1. On trouve V (z) = R√g √R+z 2. On trouve 7786 m s−2 □Exercice 5 : Exprimer le résultat souhaité avec le bon nombre de chiffres significatifs. 1. Données : n1 = 1, 50, n2 = 1, 40. Calculer en degrés l’angle θ défini par sin θ = √ n12 −n22 2. Données : D = 1, 00 m, d = 21 cm. Calculer la distance focale f′ = D2 −d2 4D exprimée en cm. 3. Données : g = 10 m.s−2, m = 200 g, ∆l = 5, 0 cm. Calculer, en N.m−1, la constante de raideur du ressort k = mg ∆l . 4. Données : G = 6, 67×10−11 N.m2.kg−2, M = 2, 00×1030 kg, T = 365 jours. Calculer, en km, le rayon a de l’orbite terrestre sachant que a3 = GMT 2 4π2 . 5. Données : p = 1013 hPa, V = 20 L, T = 20˚C, R = 8, 31 J.K−1.mol−1. Calculer le nombre de moles n = pV RT . Correction 5 : — θ = 32, 6◦ — f′ = 24cm "conversion en cm ou m — k = 40N.m−1 "toujours en unités (SI) — a = 1, 50.1011m "conversion jours →secondes. Note : La racine cubique s’obtient avec la puissance 1 3. On a donc a = 1, 50.1011km . — 0, 83mol "Pa est une unité dérivée du SI 1Pa = 1kg.m−1.s−2 et 1 hPa=100 Pa. Ne pas oublier T en Kelvin. MPSI - 2021/2022 - Physique-Chimie - TD 0 Lycée Jean Moulin (Forbach) page 3/5 Exercices d’entraînement. □Entraînement 1 : Grandeurs de Planck Données : Constante de gravitation universelle : G = 6,67.10-11 m3 kg-1 s-2. Célérité de la lumière dans le vide : c = 3,00.108 m.s-1. Constante de Planck réduite : ℏ= 1,05.10-34 m2 kg s-1 (Remarque : ℏse prononce « h barre », elle est reliée à la constante de Planck h = 6.62.10−34 m2.kg.s−1 par la relation ℏ= h 2π) 1. A partir des constantes G, c et ℏ, proposer des grandeurs de Planck ho- mogènes : (a) à une longueur appelée longueur de Planck lp. (b) à une durée appelée durée de Planck tp. 2. En supposant que les constantes adimensionnées valent l’unité, calculer lp et tp. 3. Sur la copie d’un étudiant de MPSI, il est écrit : « On peut calculer la masse m d’un trou noir à l’aide de la formule Fp = 4Gm R2 S , où Fp est la force de Planck, G la constante de gravitation universelle et Rs est le rayon de Schwarzschild ». Que penser de cette affirmation ? Correction 1 : 1. On fait l’hypothèse suivante : lP = A.Gαcβℏγ ⇒L = L3M−1T −2α LT −1β L2MT −1γ ⇒L = L3αM−αT −2αLβT −βL2γMγT −γ On obtient le système :      (L) 1 = 3α + β + 2γ (M) 0 = −α + γ (T) 0 = −2α −β −γ ⇒      γ = 1 2 α = 1 2 β = −3 2 ⇒lP = A s Gℏ c3 A est une constante adimensionnée. De la même manière, on écrit : tP = A′.Gαcβℏγ ⇒T = L3M−1T −2α LT −1β L2MT −1γ ⇒T = L3αM−αT −2αLβT −βL2γMγT −γ On obtient le système :      (L) 0 = 3α + β + 2γ (M) 0 = −α + γ (T) 1 = −2α −β −γ ⇒      γ = 1 2 α = 1 2 β = −5 2 ⇒tP = A′ s Gℏ c5 A’ est une constante adimensionnée. 2. En prenant A = 1 et A’ = 1, on fait les applications numériques, on trouve : lP = 1, 61.10−35 m et tP = 5, 37.10−44s (3 chiffres significatifs). 3. On fait l’analyse dimensionnelle de la formule : Fp = 4Gm R2 S . On a déjà vu que [F] = M.L.T −2. En outre,  4Gm R2 S  = [4][G][m] [R2 S] = 1.L3M−1T −2.M L2 = LT −2. Les deux membres de l’égalité de part et d’autre du signe égal ne sont pas homo- gènes entre eux. La relation n’est donc pas homogène, la formule est donc fausse. □Entraînement 2 : Énergie d’une explosion atomique. Le 16 juillet 1945, l’armée américaine fit exploser pour la première fois une bombe atomique dans le désert du Nouveau-Mexique. Quelques années plus tard, le gou- vernement décida de publier les photos de l’explosion, montrant le fameux cham- pignon devenu depuis le symbole de l’arme nucléaire. À part les photos, très peu de détails avaient été donnés sur la bombe, et bien évidemment la puissance de l’explosion relevait du secret défense. Mais pas de bol, le physicien Geoffrey Taylor, Britannique spécialiste de mécanique des fluides et d’ondes, avait déjà développé une théorie décrivant ce phénomène. De plus, il a démontré qu’avec une seule photo et quelques lignes de physique élémentaire, on pouvait évaluer l’ordre de grandeur de l’énergie libérée par la bombe ! On supposera que le rayon R de l’onde de choc ne dépend que des paramètres suivants : temps t, énergie totale libérée E et masse volumique de l’air ρ. 1. Donner la dimension de t, E et ρ. 2. Écrire l’équation aux dimensions de R comme produit des dimensions des autres quantités et en déduire que R ∝t2/5E1/5ρ−1/5. 3. La figure 1 présente l’évolution, en échelle log-log, de R en fonction du temps (croix) déterminée par le film. Qu’en déduire sur la validité de la formule de la question précédente ? 4. Connaissez-vous la uploads/Geographie/ correction-td-chap0.pdf

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