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CORRIGES DES EXERCICES DE MMC 1- Calcul tensoriel Exercice 1 : Soit A un champ

CORRIGES DES EXERCICES DE MMC 1- Calcul tensoriel Exercice 1 : Soit A un champ vectoriel. Montrer que l’on a toujours div (rot A) = 0 Résolution Exercice 2 Soit S un tenseur symétrique et A un tenseur antisymétrique. Montrer que l’on a toujours S :A =0 Résolution Mécanique des milieux continus 1ère année Ingénieurs IC -INPHB Décembre 2017 Exercice 3 Soit A un champ scalaire. Montrer que l’on a toujours rot (grad A)= 0 Résolution 2- Cinématique On considère un mouvement défini dans la base B = (e1, e2, e3) par sa représentation lagrangienne (ω est une constante positive) x1 = X1 cos (ω t) – X2 sin (ωt) x2 = X1 sin (ωt) + X2 cos (ωt) x3 = X3 a) Calculer le tenseur gradient F, le tenseur des dilatations C et le tenseur des déformations E de ce mouvement au point X et à l’instant t ; b) A quelle classe particulière appartient-il ? c) Pour un instant t donné calculer la dilation en un point X et dans une direction dX d) Pour un instant t donné : calculer le glissement en un point X et pour deux directions orthogonales dX et dX’ e) On considère un milieu animé de ce mouvement muni d’une masse volumique homogène ρ0 à l’instant t0 = 0. Calculer le jacobien de la transformation ainsi que la masse volumique du milieu à l’instant t ; f) Calculer le champ de vitesse V (X,t) et le champ d’accélération γ (X,t) en coordonnées lagrangiennes g) Exprimer les coordonnées initiales à partir des coordonnées actuelles. Calculer le champ de vitesse V(x,t) et le champ d’accélération γ (x,t) en coordonnées eulériennes. h) Calculer les tenseurs des taux de déformations eulériens D (x,t) et des taux de rotation Ω(x,t). Résolution 3- Contraintes En un point M d’un milieu continu et à l’instant t, la matrice du tenseur de Cauchy dans une base cartésienne orthonormée fixe B = (e1, e2, e3) est donnée par l’expression suivante, où α est une constante adimensionnelle. 0,7 α 3,6α 0 σ = 3,6α 2,8α 0 0 0 7,6 a) Montrer que le calcul des trois contraintes T (ei), i=1,2,3 et l’utilisation des propriétés des cercles de Mohr permettent de calculer les contraintes principales qu’on notera σ1, σ2, σ3. Illustrer le cas α = 1 b) Déterminer les valeurs de α correspondant à un état triaxial de révolution c) Pour la suite on pose α =1. Déterminer les directions principales et σ en M d) Calculer la contrainte pour une facette de normale n1 = √3 e1 + 1 e2 2 2 Tracer le point correspondant sur le cercle de Mohr. Résolution 4- Elasticité Soit le massif rectangulaire de grande longueur représenté sur la figure ci-dessous : On pose plusieurs hypothèses : - comportement élastique linéaire du matériau de paramètres E et ν - face supérieure soumise à une pression uniforme p - face inférieure en appui glissant non-frottant, fixée seulement sur l’axe (O,e3) - forces de volume négligeables - hypothèses HPP - on se place dans la zone centrale du massif pour se prémunir des effets de bord - champ de déplacement donné U = (A. X1 + C X2)e1 + (- C. X1 + B. X2)e2 1) Représenter la section du massif contenant le point M ainsi que les conditions aux limites sur cette section ; 2) Calculer le tenseur des déformations ε et donner ses valeurs principales et ses directions principales. De quel type de déformation s’agit-il ? 3) Exprimer analytiquement le tenseur de Cauchy σ (utiliser les coefficients de Lamé) ; 4) En utilisant les conditions aux limites en contraintes, calculer les expressions des paramètres A et B. En utilisant les conditions aux limites en déplacement, calculer C ; 5) On pose E = 210 000 MPa et ν = 0,3 (Massif en acier). Les dimensions de la section sont : L= 0,2m , H= 0,15 m et le chargement vaut p= 500 MPa. Calculer le vecteur déplacement du point M. Tracer la déformée de la section. Résolution uploads/Geographie/ corriges-exercice-de-mmc-2017.pdf