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GHIZLAN LOUMRHARI SE P T EM BR E 2 0 1 9 Cours de probabilités Tables des matiè

GHIZLAN LOUMRHARI SE P T EM BR E 2 0 1 9 Cours de probabilités Tables des matières Plan du cours 1. Ensembles et probabilités 2. Variables aléatoires et distributions de probabilités 3. Espérance mathématique 4. Distributions particulières de probabilités La probabilité qu’est ce que c’est ? Une probabilité est souvent ramené à un calcul mathématique qui définie, la probabilité (ou la chance) qu’un événement donné se produisent. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 : 0 signifie que l’événement n’arriveras jamais et 1 que l’événement arrivera à coup sur. Pourquoi les probabilités sont toujours entre 0 et 1 ? Dans des cas simples comme celui du lancer de dé, on vois naturellement qu'il va y avoir 1 chance sur 6 de tomber sur le 2 par exemple. Et 1/6 est bien compris entre 0 et 1. La probabilité qu’est ce que c’est ? Alors que si on nous demande les chances de tomber sur un 8 (0 chance) : la probabilité d'un évènement impossible est 0. A l'opposé, si on nous demande les chances de tomber sur un 1, un 2, un 3, un 4, un 5 ou un 6 quand on lance un dé, il y a 6 chances sur 6. Et 6/6 ça vaut 1 : la probabilité d'un évènement certain est 1 On remarque donc que les 2 évènements les plus extrêmes ont des probabilités de 0 (ça n'arrivera jamais) et 1 (ça arrivera toujours), tous les autres évènements auront donc des probas comprises en 0 et 1. La probabilité qu’est ce que c’est ? Probabilités, pourcentage et signification. Parfois on exprimera les probabilités en pourcentage quand c'est plus parlant (qu'un pourcentage compris en 0% et 100% est bien un nombre entre 0 et 1). Et plus la probabilité d'un évènement sera proche de 1 (ou de 100%) plus il y aura de chances que cet évènement se produise ! Par exemple, un évènement qui a une probabilité de 0.2 a 20% de chances de se réaliser alors qu'un évènement de probabilité 0.9 a 90% de chances de se produire ! Les probabilités à quoi ça sert ? Dans le monde qui nous entoure, il existe de très nombreux phénomènes pour lesquels l'aléatoire joue un rôle important. Certains sont naturels comme la météo, la localisation des tremblements de terre, etc. D'autres sont issus nos créations comme les jeux de hasard, les risques d'avoir un accident de voiture ou de tomber sur un correcteur ultra sévère le jour du BAC, etc. En étudiant mathématiquement le côté aléatoire de ces phénomènes, on peut en tirer des caractéristiques globales pour avoir une meilleure idée de leur comportement. Voire même pour essayer de les prédire précisément. Le vocabulaire pour comprendre les probabilités Pour comprendre les probabilités il faut comprendre le vocabulaire spécifique Le vocabulaire pour comprendre les probabilités 1. Univers : l'ensemble des éventualités  Quand on veut étudier un phénomène aléatoire, on va commencer par définir ses limites. Qu'est-ce qu'on étudie et quelles sont les situations possibles ? C'est la première chose à faire. Pour ça, on va limiter le cadre au strict minimum. Par exemple si on lance un dé, il n'y a que 6 résultats possibles, un par face. C'est ce qu'on va appeler des éventualités. Le vocabulaire pour comprendre les probabilités 1. Univers : l'ensemble des éventualités  On va appeler l'ensemble de ces éventualités, l'univers. Et on le note très souvent Ω. Dans le cas du dé, Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6} Ω est donc l'ensemble des résultats possibles dans le cadre restreint que l'on considère pour l'étude. Le vocabulaire pour comprendre les probabilités 2. Évènements : des parties de l'univers Ce que l'on veut c'est étudier les phénomènes qui peuvent survenir dans le cadre imposé par l'univers. On va donc s'intéresser à des évènements qui peuvent se produire. Évènement élémentaire et évènement général L'évènement le plus simple est composé d'une seule éventualité. Un tel évènement est appelé évènement élémentaire. Par exemple, l'évènement "Obtenir un 3" en lançant le dé. Le vocabulaire pour comprendre les probabilités 2. Évènements : des parties de l'univers Pour autant, on vois tout de suite qu'il n'existe pas que des évènements élémentaires. Par exemple, "Obtenir un chiffre strictement plus petit que 4" au lancer de dé ne correspond pas à une seule éventualité mais à 3 éventualités. Plus généralement, un évènement est donc une partie de l'univers. Pour faciliter son usage en maths, on le notera presque toujours avec une lettre et parfois on y ajoutera un indice. Le vocabulaire pour comprendre les probabilités 2. Évènements : des parties de l'univers Évènement contraire : le reste de l'univers. On peut toujours définir l'évènement contraire d'un certain évènement A. Il correspond au "reste de l'univers" une fois qu'on le retire A. Pour que le lien avec l'évènement A soit clair, on le notera . Par exemple : si on note Q l'évènement "Obtenir un chiffre strictement plus petit que 4". Alors est l'évènement "Obtenir un chiffre plus grand ou égal à 4", c'est à dire 4, 5 ou 6. Le vocabulaire pour comprendre les probabilités 3. Loi de Probabilité La loi de probabilité : C'est simplement ce qui relie les évènements et leurs probabilités. Pour définir une loi de proba, il suffit donc d'associer à chaque évènement élémentaire sa probabilité. Si on note Ai les évènements élémentaires (autrement dit Ω={A1,A2,A3,...}) on définit la loi de probabilité de cette expérience aléatoire en associant une probabilité pi à chaque Ai . Pour que cette loi de probabilités soit valide, il faut respecter les conditions 0≤pi≤1, i N et p1+p2+p3+...=1. ∀∈ Le vocabulaire pour comprendre les probabilités 3. Loi de Probabilité Par exemple dans le cas d'un univers avec un nombre fini d'évènements élémentaires, il suffit de mettre tout ça dans un tableau. La loi de probabilité du lancer d'un dé équilibré à 6 faces est donnée par ce tableau. Face du dé 1 2 3 4 5 6 Probabilité 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Chapitre 1. Ensembles et probabilités 1. notions d’ensemble La notion d’ensemble est à la base des probabilités et de la statistique, voire des mathématiques en général. Un ensemble peut être considéré comme une collection d’objets, appelés membres ou éléments. De façon générale, nous désignerons un ensemble par une majuscule, par exemple A, B, C, et l’un de ses éléments par une lettre minuscule, a, b, c. Si un élément a appartient à l’ensemble C, nous écrirons ; si a n’appartient pas à C, nous noterons . Si deux éléments a et b appartiennent à l’ensemble C, cela sera noté : . Pour qu’un ensemble soit bien défini, nous devrons être en mesure de spécifier l’appartenance ou la non appartenance d’un objet particulier à cet ensemble. Chapitre 1. Ensembles et probabilités 1. notions d’ensemble Un ensemble peut être défini soit par un dénombrement de tous ses éléments soit, quand cela n’est pas possible, on décrivant une propriété de tous ses éléments. La première méthode est celle du dénombrement, la seconde, celle des propriétés. Exemple 1. L’ensemble des voyelles de la langue française peut être défini soit par dénombrement, soit par l’indication de propriété sous l’écriture qui se lit : l’ensemble de tous les éléments x tels que x est une voyelle. Exemple 2. L’ensemble est l’ensemble de tous les triangles d’un plan. Remarquons que la méthode de dénombrement ne peut être utilisée ici. Chapitre 1. Ensembles et probabilités 2. Sous ensembles Si chacun des éléments d’un ensemble A appartient également à un ensemble B, nous dirons que A est un sous ensemble de B ; cette propriété sera notée : ou et lue : A est inclus dans B ou B contient A. il en résulte que pour tous les ensembles A, . Si et , nous dirons que A et B sont identiques et nous noterons A=B. dans ce cas A et B contiendront exactement les mêmes éléments. Si A et B ne sont pas identiques, c'est-à-dire s’ils ne contiennent pas exactement les mêmes éléments, nous écrivons . Si et , A sera dit un sous ensemble propre de B. Chapitre 1. Ensembles et probabilités 2. Sous ensembles Exemple 1. est un sous ensemble propre de . Exemple 2. un sous ensemble (mais pas un sous ensemble propre) de parce que les deux ensembles sont identiques. Il faut remarquer qu’un simple réarrangement des éléments ne change pas l’ensemble. Exemple 3. Au cours du jet d’un dé, les résultats possibles tels que le nombre obtenu soit pair appartiennent à l’ensemble , sous ensemble de l’ensemble de tous les résultats possibles. Le théorème ci-dessous est vrai pour tout groupe d’ensemble A,B,C Théorème 1. Si et , alors Chapitre 1. Ensembles et probabilités 3. Ensemble vide Il est souvent commode d’introduire un ensemble qui ne comporte aucun élément. Un tel ensemble est dit ensemble vide et noté . L’ensemble vide est sous ensemble de tout ensemble. Exemple. Si nous jetons un dé, l’ensemble constitué par les résultats 7 et 11 est l’ensemble vide. Chapitre 1. Ensembles et probabilités uploads/Geographie/ cours-de-probabilites-chap1.pdf