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Terminale S 1 F. Laroche Concours Fesic mai 2013 Terminale S mai 2013 Concours

Terminale S 1 F. Laroche Concours Fesic mai 2013 Terminale S mai 2013 Concours Fesic Corrigé Exercice 1 : Bases en Analyse a. Faux : la dérivée du produit donne ( ) 1 x x e + . b. Faux : ln 1 ln 1 lim lim lim 0 0 0 x x x x x x x x →+∞ →+∞ →+∞ − = − = + = (croissances comparées). c. Faux : 0 est bien telle que 0' 0 = mais il existe d’autres fonctions comme toutes les fonctions de la forme x Ce . d. Vrai : A et B sont incompatibles si A B ∩ = ∅. En utilisant ( ) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B P A B ∪ = + − ∩ , on trouve ( ) 0,2 0,5 0,7 0 P A B ∩ = + − = . Exercice 2 : Bases en Géométrie a. Faux : Attention au –6 : 2 5 3 3 6 6 6 6 i i i i e z e e e π π π π − = ⇒ = = , ( ) [ ] 5 arg 2 3 z π π = . b. Faux : Si z x iy = + , on a z x iy z x iy = − ⇒− = −+ donc symétrie par rapport à l’axe (Oy). c. Faux : on peut remarquer que 3 4 6 10 3 0 2 3 5 2 x y z x y z − + − + = ⇔ + − = et 8 8 6 9 15 8 0 2 3 5 3 3 x y z x y z − − − + − = ⇔ + − = = − , les deux équations sont incompatibles, les plans sont strictement parallèles. d. Faux : on cherche t, 2 2 1 1 / 2 3 3 6 5 5 1 4 / 5 t t t t t t = + = −     = −− ⇔ = −     −= − = −   , ce qui est impossible. Exercice 3 : Lecture graphique Nombre dérivé = coefficient directeur de la tangente : a. Vrai : ( ) ' 0 1 f = . b. Faux : ( ) ' 1 0 f = . c. Vrai : l’intersection de y=x avec C a une solution. d. Vrai : on compte 4 carreaux pour une unité : l’aire hachurée est supérieure à 8 carreaux et inférieure à 16 carreaux. Exercice 4 : Volume d'un parallélépipède rectangle a. Vrai : ( ) ( )( ) ( )( ) 2 3 2 12 12 12 12 24 144 V x x x x x x x x x x = − − = − − = − + . b. Faux : la fonction change de sens de variation. c. Faux : ( ) ( ) V x f x = . d. Vrai : On a un cube si 3 12 6 6 216 x x x V = − ⇔ = ⇒ = = . Exercice 5 : Utilisation d'une suite dans un algorithme a. Faux : le dernier terme est –24/8. b. Vrai : vérifiez à la main. c. Vrai : n n n n v u n u v n = + ⇔ = − et 1 1 1 n n u v n + + = − − d’où en remplaçant : ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n n n n u u n v n v n n v v n n v + + + = − − ⇔ − − = − − − ⇔ = − −+ + = . 0 0 1 n v u = + = . d. Faux : 0 1 1 2 2 n n n n n n v v q u v n n = = ⇒ = − = − . Exercice 6 : Utilisation d'un algorithme avec les nombres complexes a. Faux : 3 1 ' 2 a − = . 3 π θ = , a = 1 et b = 1 : 1 ' cos 3 2 a a π   = × =     puis 1 3 1 3 ' 1 2 2 2 a − = −× = . b. Vrai : ( ) 3 ' sin 2 b a θ = × = puis 3 1 3 1 ' 1 2 2 2 b + = + × = . Terminale S 2 F. Laroche Concours Fesic mai 2013 c. Vrai : si 3 π θ = , a = 1 et b = 1 alors 2 2 2 2 3 1 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 ' ' ' 2 2 2 4 4 z a b     − + − + + + = + = + = + =             . d. Vrai : ( ) ( ) ' cos sin a a b θ θ = − , ( ) ( ) ' sin cos b a b θ θ = + . D’un autre côté on a : ( )( ) ( ) ' cos sin cos sin sin cos i z e z i a ib a b i a b θ θ θ θ θ θ θ = = + + = − + + . Exercice 7 : Bases de logique La contraposée de ( p q ⇒ ) est ( non non q p ⇒ ). Ces deux phrases ont même valeur de vérité. a. Faux : ( ) ( ) 0 Re 0 et Im 0 z z z = ⇔ = = donc par contraposée : ( ) ( ) 0 Re 0 ou Im 0 z z z ≠ ⇔ ≠ ≠ . b. Faux : la contraposée est « si Re(z) ≠ 0 alors z ∉Γ ». c. Faux : Il faut également que f soit continue… d. Faux : si f est constituée de plusieurs morceaux non continus, elle peut très bien avoir une primitive sur chaque intervalle et donc une primitive partout sans être continue. Exercice 8 : Calculs de limites a. Faux : ( ) lim exp 0 x x →−∞ = . b. Faux : ( ) 2 2 1 lim ln lim ln x x x x →+∞ →+∞  = − = −∞     . c. Vrai : ( ) 2 2 1 1 1 lim lim lim 0 lim 0 1 x x x x x x f x x x x x →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ − = = = ≤ ≤ = + , alors ( ) lim 0 x f x →+∞ = . d. Faux : la limite proposé eest le nombre dérivé de sin en 2 π , soit ( ) 2 sin 1 lim cos 0 2 2 x x x π π π → −   = =     − . Exercice 9 : Calculs d'intégrales a. Faux : 4 4 2 2 1 2 2 4 2 2 4 2 2 dx x x   = = − = −   ∫ . b. Vrai : ( ) 1 1 1 2 2 0 0 0 2 ' ln 1 ln2 ln1 ln2 1 x u dx dx x u x   = = + = − =   + ∫ ∫ . c. Vrai : dérivons ( ) 2 2 2 2 x x x x e → − + − : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 x x x x e x x e x e − + − + = . d. Faux : on utilise le résultat précédent : ( ) 1 1 2 2 0 0 2 2 2 x x x e dx x x e e   = − + = −   ∫ . Exercice 10 : Notions de bases sur les nombres complexes a. Vrai : 3 1 3 2 2 3 4 4 2 2 i E z i i e π   = + = + =       . b. Faux : E est situé sur le cercle de centre O et de rayon R = 4. c. Vrai : ( ) 2 2 z i z i AM + = −− = , ( ) 2 2 z z BM + = −− = ; on a AM BM = , ce qui caractérise la médiatrice du segment [AB]. d. Faux : On rappelle que 2 1 1 uploads/Geographie/ fesic-2013-corrige.pdf