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8GMA102 — Calcul int´ egral et diﬀ´ erentiel Hiver 2012 ´ Etudiant 1 ´ Etudiant

8GMA102 — Calcul int´ egral et diﬀ´ erentiel Hiver 2012 ´ Etudiant 1 ´ Etudiant 2 Devoir 1 (` a remettre au plus tard le 30 janvier, ` a 16h00) Le devoir peut ˆ etre fait seul ou en ´ equipe de deux. Vous devez justiﬁer chacune de vos r´ eponses et pr´ esenter vos calculs. La d´ emarche ainsi que l’utilisation correcte de la notation math´ ematique seront ´ evalu´ ees. Lors de la remise de votre devoir, vous devez agrafer vos feuilles avec ces deux pages en premier en identiﬁant bien votre nom, sinon vous aurez une p´ enalit´ e de 10%. Question 1 2 3 4 5 6 7 Total Sur 9 6 6 8 8 6 7 50 Note 1. Dites si les paires de droite suivantes sont s´ ecantes, perpendiculaires, parall` eles ou confon- dues : (a) (3 points) 4x −6y + 3 = 0 et y = 2x + 5 ; (b) (3 points) x + 2y = 2 et 4y −2x = 5 ; (c) (3 points) y = −2x + 5 et x −2y −8 = 0. 2. R´ esolvez les in´ egalit´ es suivantes : (a) (3 points) |2x −3| −2/5 ≤0 ; (b) (3 points) x3 + 3x < 4x2. 3. (a) (3 points) Tracez la courbe f(x) = | tan(x)| sur le domaine [−2π, 4π]. (b) (3 points) Donnez toutes les solutions de l’´ equation f(x) = 1 pour x ∈R. Re- marque : Il y en a une inﬁnit´ e. 4. Donnez le domaine de d´ eﬁnition de chacune des fonctions suivantes. Justiﬁez bri` evement. (a) (2 points) f(x) =      x si x < 0 ; sin(x) si x ∈[1, 2] ; x2 −2x −1 si x > 4. (b) (2 points) f(x) = x + 3 (x −3)(x + 3) ; 1/2 8GMA102 — Calcul int´ egral et diﬀ´ erentiel Hiver 2012 (c) (2 points) f(t) = ln(t) √1 −t + √1 + t ; (d) (2 points) f(x) = 1 sin(x) + cos(x). 5. Soient f(x) = sin(2x −3), g(x) = |x + 1| et h(x) = 4 ln(x) −1. Calculez les fonctions suivantes et donnez pour chacune d’elles le domaine de d´ eﬁnition : (a) (2 points) f ◦g ; (b) (2 points) g ◦f ; (c) (2 points) f −1 ; (d) (2 points) h−1. 6. La population d’un village croˆ ıt selon la fonction P(t) = P0(1.04)t, o` u t est mesur´ e en ann´ ee et P0 est la population initiale (c’est-` a-dire le nombre d’habitants quand t = 0). (a) (3 points) Calculez la valeur de P0 en sachant qu’il y avait 14 802 habitants apr` es 10 ann´ ees. (b) (3 points) Apr` es combien d’ann´ ees la population aura-t-elle d´ epass´ e 20 000 habi- tants ? Remarque : Les ann´ ees sont des nombres entiers. 7. Consid´ erez l’ellipse et l’hyperbole d’´ equations respectives 49(x −2)2 + 36(y + 2)2 = 1764 et x2 −4(y + 2)2 = 4. (a) (3 points) Dessinez dans un mˆ eme graphique ces deux coniques. Utilisez des cou- leurs diﬀ´ erentes. (b) (4 points) Calculez les coordonn´ ees de tous les points d’intersection des deux courbes. Identiﬁez ces points sur le graphique illustr´ e en (a). Indice : Isolez l’expression (y + 2)2 dans chacune des ´ egalit´ es. 2/2 uploads/Geographie/ devoir-1 70 .pdf