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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 1 DEVOIR SURVEILLÉ n°1

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 1 DEVOIR SURVEILLÉ n°1 du samedi 24 septembre Durée : 4 heures de 8h à 12h. Les calculatrices sont interdites. Les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. 1 Plutôt calculatoire Exercice 1 (Calcul de sommes) Soit n ∈N∗. Calculer les sommes suivantes : 1. n X i=1 1 24i+1 . 2. n−1 X k=0 (−1)k n k + 1 3k. 3. X 1⩽i⩽j⩽n i2 j(j + 1). Exercice 2 (Une somme classique par récurrence) Démontrer par récurrence que pour tout n ∈ N∗, on a : n X k=1 (−1)kk2 = (−1)n n(n + 1) 2 . Exercice 3 (Nombres complexes et Brevet de trigonométrie) Les trois questions sont indé- pendantes. 1. Calculer l’intégrale : Z π 2 0 sin2 x dx. 2. Donner le module et l’argument principal du nombre complexe Z = (1 + e iπ 5 )2016. 3. Représenter en justiﬁant l’ensemble des points d’aﬃxe z tel que (z −1)2 ∈iR (iR désigne l’ensemble des imaginaires purs). 2 Moins calculatoire Exercice 4 (Négations en vrac) Pour chaque assertion, écrire sa négation puis préciser si l’asser- tion est vraie. 1. ∀x ∈] −1, 1[, ∃y ∈] −1, 1[, y < x. 2. ∀x ∈[0, +∞[, x2 ⩾x ⩾0. 3. ∀x ∈R, (x ⩽3 ⇒x2 ⩽9). Exercice 5 (Questions en vrac) Les questions sont indépendantes. 1. Soit x un élément d’un ensemble E. Déterminer P ({x}) puis P (P ({x})). 2. Soit P et Q deux assertions. Est-ce que l’assertion (P ⇒Q) est équivalente à l’assertion (non P ou Q) ? Justiﬁer. 3. Soient X, Y et Z des parties d’un ensemble E. Démontrer que X \ (Y ∩Z) = (X \ Y ) ∪(X \ Z). 4. Soit A, B et C trois parties d’un ensemble E. On suppose que A ∪B = A ∪C et A ∩B = A ∩C. Démontrer que B = C. Le résultat subsiste-il si l’on suppose seulement que A ∪B = A ∪C ? Exercice 6 (Un peu de dénombrement) Déterminer le nombre d’éléments des ensemble suivants où n ∈N∗: 1. A = {(x, y, z) ∈J1, nK3}. 2. B est l’ensemble des triplets (x, y, z) d’élements distincts de J1, nK. 3. C = {(x, y, z) ∈J1, nK3 | x < y < z}. ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 2 3 Pour ﬁnir Exercice 7 (Une équation fonctionnelle) Le but de l’exercice est de déterminer toutes les fonc- tions f déﬁnies sur R vériﬁant la propriété : P : ∀(x, y) ∈R2, f(x) + f(y) = f(x)f(y) Pour cela on raisonne par analyse-synthèse. 1. Analyse : soit f une fonction vériﬁant la propriété P. (a) Quelle(s) valeur(s) peut prendre f(0) ? (b) Que dire de f si f(0) = 0 ? (c) Que dire de f si f(0) ̸= 0 ? 2. Synthèse : quelles sont les fonctions vériﬁant la propriété P ? Exercice 8 (Le dernier) Soit n ∈N∗et x1, . . . , xn des réels tels que n X k=1 x2 k = n X k=1 xk = n. Démontrer que x1 = x2 = · · · = xn = 1. Fin de l’énoncé 1 1. Bonus : soit x1, . . . , xn des réels strictement positifs, démontrer que n X k=1 xk ! n X k=1 1 xk ! ⩾n2. Indication : si x est un réel strictement positif, on remarquera que x + 1 x est minoré par un certain entier. uploads/Geographie/ devoir-1-logique-sommes-binome-de-newton.pdf