Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

E El lé ém me en nt ts s d de e l lo og gi iq qu ue e Exercice 1 Décrire les pa

E El lé ém me en nt ts s d de e l lo og gi iq qu ue e Exercice 1 Décrire les parties de ℝ dans lesquelles évoluent x pour que les assertions suivantes soient vraies : a) ( 0 et 1) ou 0 x x x > < = b) 3 et 5 et 4 x x x > < ≠ c) ( 0 et 1) ou 4 x x x ≤ > = d) 0 2 x x ≥ ⇒ ≥ . Exercice 2 Etant donnés P , Q et R trois assertions, vérifier en dressant la table de vérité : a) ou ( et ) ( ou ) et ( ou ) P Q R P Q P R ∼ b) non( ) et non( ) P Q P Q ⇒ ∼ . Exercice 3 On dispose de neuf billes visuellement identiques, huit d’entre elles ont même masse mais la neuvième est plus lourde. Comment, en deux pesées sur une balance à deux plateaux, peut-on démasquer l’intrus ? Exercice 4 On dispose de neuf billes visuellement identiques, elles ont toutes la même masse sauf une. Comment, à l’aide d’une balance à deux plateaux, démasquer l’intrus en trois pesées ? Q Qu ua an nt ti if fi ic ca at te eu ur rs s Exercice 5 Soit I un intervalle de ℝ et : f I →ℝ une fonction définie sur I à valeurs réelles. Exprimer verbalement la signification des assertions suivantes : a) , , ( ) C x I f x C ∃ ∈ ∀∈ = ℝ b) , ( ) 0 0 x I f x x ∀∈ = ⇒ = c) , , ( ) y x I f x y ∀∈ ∃∈ = ℝ d) , , ( ) ( ) x y I x y f x f y ∀ ∈ ≤ ⇒ ≤ e) , , ( ) ( ) x y I f x f y x y ∀ ∈ = ⇒ = . Exercice 6 Soit I un intervalle de ℝ et : f I →ℝ une fonction définie sur I à valeurs réelles. Exprimer à l’aide de quantificateurs les assertions suivantes : a) « la fonction f s’annule » b) « la fonction f est la fonction nulle » c) « f n’est pas une fonction constante » d) « f ne prend jamais deux fois la même valeur » e) « la fonction f présente un minimum » f) « f prend des valeurs arbitrairement grandes » g) « f ne peut s’annuler qu’une seule fois ». Exercice 7 Soit I un intervalle de ℝ non vide et : f I →ℝ une fonction à valeurs réelles définie sur I . Exprimer les négations des assertions suivantes : a) , ( ) 0 x I f x ∀∈ ≠ b) , , ( ) y x I f x y ∀∈ ∃∈ = ℝ c) , , ( ) M x I f x M ∃ ∈ ∀∈ ≤ ℝ d) , , ( ) ( ) x y I x y f x f y ∀ ∈ ≤ ⇒ ≤ e) , , ( ) ( ) x y I f x f y x y ∀ ∈ = ⇒ = f) , ( ) 0 0 x I f x x ∀∈ > ⇒ ≤ . Exercice 8 Soit : f → ℝ ℝ. Quelle différence de sens ont les deux assertions proposées : a) , , ( ) x y y f x ∀∈ ∃∈ = ℝ ℝ et , , ( ) y x y f x ∃∈ ∀∈ = ℝ ℝ . b) , , ( ) y x y f x ∀∈ ∃∈ = ℝ ℝ et , , ( ) x y y f x ∃∈ ∀∈ = ℝ ℝ . c) , , ( ) x M f x M ∀∈ ∃ ∈ ≤ ℝ ℝ et , , ( ) M x f x M ∃ ∈ ∀∈ ≤ ℝ ℝ ? Exercice 9 Soit : f → ℝ ℝ une fonction continue. On considère les assertions suivantes : P : « , ( ) 0 x f x ∀∈ = ℝ », Q : « , ( ) 0 x f x ∃∈ = ℝ » et R : « ( ) ( ) , ( ) 0 ou , ( ) 0 x f x x f x ∀∈ > ∀∈ < ℝ ℝ ». Parmi les implications suivantes lesquelles sont exactes : a) P Q ⇒ b) Q P ⇒ c) Q R ⇒ d) non( ) R Q ⇒ e) non( ) non( ) Q P ⇒ f) non( ) non( ) P R ⇒ ? Exercice 10 Soit a ∈ℝ. a) Montrer que ( 0, ) 0 a a ε ε ∀≥ ≤ ⇒ = . b) Montrer que ( 0, ) 0 a a ε ε ∀> ≤ ⇒ = . E En ns se em mb bl le es s Exercice 11 Soit { } , , E a b c = un ensemble. Peut-on écrire : a) a E ∈ b) a E ⊂ c) { } a E ⊂ d) E ∅∈ e) E ∅⊂ f) { } E ∅⊂ ? Exercice 12 Un ensemble est dit décrit en compréhension lorsqu’il réunit les éléments d’un ensemble vérifiant une propriété. Un ensemble est dit décrit en extension lorsqu’on cite ses éléments. Par exemple, { } / , 2 n k n k ∈ ∃∈ = ℤ ℤ et { } 2 / k k ∈ℤ sont des descriptions respectivement en compréhension et en extension de l’ensemble des entiers pairs. a) Décrire en compréhension et en extension l’ensemble { } 1,3,5,7,… . b) Décrire en compréhension et en extension l’ensemble { } 1,10,100,1000,… . c) Décrire en extension l’ensemble des nombres rationnels. d) Décrire en en compréhension l’ensemble ] ] 0,1 . Pensez-vous qu’il soit possible de décrire cet ensemble en extension ? e) Décrire en compréhension et en extension l’ensemble des valeurs prises par une fonction : f → ℝ ℝ. f) Décrire en compréhension l’ensemble des antécédents d’un réel y par une fonction : f → ℝ ℝ. Exercice 13 Décrire { } ( ( )) a P P où a désigne un élément. Exercice 14 Soit , , ( ) A B C E ∈P . Etablir \ ( ) ( \ ) ( \ ) A B C A B A C ∩ = ∪ Exercice 15 Etant donné A et B deux parties de E , justifier \ \ E E C A C B B A = . Exercice 16 Etant données A , B et C trois parties de E , justifier les équivalences suivantes : a) A B A B B ⊂ ⇔ ∪ = . b) A B A B A B = ⇔ ∩ = ∪ . c) A B A C B A C ∪ = ∩ ⇔ ⊂ ⊂ d) { A B A C B C A B A C ∪ = ∪ ⇔ = ∩ = ∩ Exercice 17 Soit A et B deux parties de E , on appelle différence symétrique de A et B , l’ensemble : ( \ ) ( \ ) A B A B B A ∆ = ∪ . Montrer que ( ) \ ( ) A B A B A B ∆ = ∪ ∩ . Exercice 18 Etant donnés A , B et C trois parties d’un ensemble E , montrer que : a) A B A C B C ∆ = ∆ ⇔ = b) \ \ A B A B A B = ⇔ = c) A B A B A B ∆ = ∩ ⇒ = = ∅. Exercice 19 Soit , A B deux parties de E . Discuter et résoudre l’équation A X B ∪ = d’inconnue ( ) X E ∈P . Exercice 20 Soit , A B deux parties de E . Discuter et résoudre l’équation A X B ∩ = d’inconnue ( ) X E ∈P . I In nj je ec ct ti iv vi it té é, , s su ur rj je ec ct ti iv vi it té é e et t b bi ij je ec ct ti iv vi it té é Exercice 21 Soit : f → ℕ ℕ et : g → ℕ ℕ les applications définies par : , ( ) 2 k f k k ∀∈ = ℕ et ( ) / 2 si est pair ( ) 1 / 2si est impair k k g k k k    =  −    . a) Etudier l’injectivité, la surjectivité et la bijectivité de f et g . b) Préciser les applications g f et f g . Etudier leur injectivité, surjectivité et bijectivité. Exercice 22 Soit a , b et uploads/Geographie/ ensemble-mathematique.pdf