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Institut International de Management (I.I.M)/Master I Devoir de maison de Stati

Institut International de Management (I.I.M)/Master I Devoir de maison de Statistique-Mathématique, 2011 Auteur : MINDZE Elvire Exercice 1 Soit X1, X2, ..., X10 l’échantillon des 10 rondelles choisies. La taille de l’échan- tillon étant faible (n = 10), nous ne pouvons pas appliquer le théorème de la limite centrale Nous supposons que chaque Xi suit une loi Normale de paramètres (m, σ) On cherche à tester si la machine est encore en état de marche L’hypothèse nulle à tester est : H0 : m = 0, 05 contre l’hypothèse alternative H1 :m ̸= 0, 05 Dans le cas d’un échantillon qui suit la loi Normale, on sait que : T10 = √ 10( ¯ X10−m) √S10 suit une loi de Student à 10 −1 degrés de liberté, avec S10 = 1 10−1 P10 i=1(Xi −¯ X10)2 S10 = 10 9 ( 1 10 P10 i=1(Xi −¯ X10)2) = 10 9 σ2 10 Sous l’hypothèse H0, on a : T10 = √ 10( ¯ X10−0,05) √10 9 σ2 10 = 3(0,053−0,05) √ 9.10−16 T10 = 3 Au niveau 0,95, le quantile de la loi de student à 9 degrés de liberté en utili- sant la table est 2,262 T10 > 2, 262. On rejette donc l’hypothèse nulle, cest-à-dire qu’au niveau 0,95 , la machine n’est pas en état de marche. Au niveau 0,99, le quantile de la loi de student à 9 degrés de liberté en utili- sant la table est 3,25 T10 < 3, 25. On ne peut pas rejeter l’hypothèse nulle, cest-à-dire qu’au niveau 0,99 , la machine est en état de marche. Exercice 2 Soit X1, X2, ..., X20 l’échantillon des 20 personnes choisies La moyenne ¯ X20 et l’écart-type ˆ σ de l’échantillon sont des estimations ponc- tuelles de la moyenne et de l’écart-type de la population burkinabé. 1 1) Estimation ponctuelle ¯ X20 = 3 + 13 60 ⇒¯ X20 = 3, 21h ˆ σ = 46 60 ⇒ˆ σ = 0, 76h 2) Intervalle de conﬁance de la moyenne Dans le cas d’un échantillon suivant une loi Normale de moyenne et d’écart- type inconnus, on sait qu’un intervalle de conﬁance au seuil α est : IC = [ ¯ X20 − t19,α/2 √S20 √ 20 ; ¯ X20 + t19,α/2 √S20 √ 20 ], avec S20 = 20 19σ2 t19,α/2 est le quantile d’ordre 1 −α/2 de la loi de Student à 19 degrés de liberté Pour α = 0, 05, on a t19,α/2 = 2, 093 IC = [2, 85; 3, 58] est donc un intervalle de conﬁance de niveau 95% de la moyenne de la population burkinabé Exercice 3 1), a) Test d’homogénéité des groupes d’étudiants Oui Non Total Groupe 1 : Master 1 85 30 115 Groupe 2 : Master 2 80 10 90 Groupe 3 : Autres étudiants à l’I.I.M 25 35 60 Total 190 75 265 d = n(P i,j n2 ij ni.n.j −1) = 40, 053 χ2 (0,05);2 = 5, 99 < 40, 05 = d On rejette l’hypothèse selon laquelle les trois population interrogées seraient homogènes. b) Test de supériorité de proportion l’hypothèse nulle est : H0 : p3 ≥0, 4 contre H1 : p3 < 0, 4 Le théorème de la limite centrale indique que : Zobs = ¯ p3−p3 r p3(1−p3) n3 2 suit une loi Normale de moyenne nulle et de variance 1 sous l’hypothèse H0, Zobs = 0,416−0,4 q 0,4(1−0,4) 60 = 0, 263 Le quantile de la loi Normale de moyenne nulle et de variance 1 pour ce test est 1,645 Zobs < 1, 645 On conclut que la proportion d’étudiants du groupe 3 susceptible de venir n’est pas supérieure à 40% au seuil de 5% 2) a) Estimation ponctuelle de la moyenne et de la variance des montants Montants(F) [10-20[ [20-50[ [50-100[ [100-200[ [200-300[ Eﬀectif 10 100 68 10 2 xc 15 35 75 150 250 Soit ¯ X l’estimation ponctuelle de la moyenne ¯ X = 1 190 P5 i=1 nixci = 1 190(10 × 15 + ... + 2 × 250) ¯ X = 56, 579F soit ˆ σ2 l’estimation ponctuelle de la variance des montants ˆ σ2 = 1 190 P5 i=1 ni(xci−¯ X)2 = 1 190(10×(15−56, 579)2+...+2×(250−56, 579)2) ˆ σ2 = 1310, 665 b) Intervalle de conﬁance de la moyenne Comme la taille de l’éhantillon est grand (n = 190), on a : √ 190 σ ( ¯ X −m) tend vers une loi Normale de moyenne nulle et de variance 1 m est la moyenne des montants de la population totale et σ2 sa variance Un intervalle de conﬁance de m au niveau 0,95 est : IC = [ ¯ X −1,96σ √ 190; ¯ X + 1,96σ √ 190] En remplaçant σ par ˆ σ, on obtient : IC = [51, 431; 61, 726] La probabilité que le montant moyen de la population totale soit dans l’in- tervalle [51,431 ; 61,726] est de 0,95. 3 uploads/Geographie/ devoir-stat-maths.pdf