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Le 7.2.2015 Dobble, jeu de cartes, études et généralisations Page : 1 / 15 Dobb

Le 7.2.2015 Dobble, jeu de cartes, études et généralisations Page : 1 / 15 Dobble est un jeu composé de 55 cartes, ayant 8 symboles sur chaque carte. Pour chaque paire de cartes, il existe exactement un symbole se trouvant sur chacune des deux cartes. Ce texte a été écrit par Bernard Gisin, http://www.juggling.ch/gisin/math/jeux/dobble.html Le but de ce qui suit est d'étudier le principe mathématique de la création d'un tel jeu. Liens : http://fr.wikipedia.org/wiki/Dobble La référence sur Wikipédia. http://images.math.cnrs.fr/Dobble-et-la-geometrie-finie.html Étude mathématique claire et précise. C'est ce lien qui m'a débloqué lors de mes recherches. http://fr.scribd.com/doc/32602239/Dobble Montre qu'avec n symboles par carte, il y a au maximum n(n  1) + 1 cartes. Pour cela il est nécessaire d'avoir le même nombre de symboles. Avoir plus de symboles est inutile. Il montre également que un même symbole se trouve au plus sur n cartes. Donc avec 8 symboles par carte, il y a au maximum 57 cartes. On va montrer que ce maximum de 57 cartes peut être réalisé, avec 57 symboles. Dans ce cas, pour chaque symbole, il y a exactement 8 cartes qui contiennent ce symbole. Dans le jeu d'origine, on pourrait ajouter 2 cartes aux 55 cartes. A ma connaissance, c'est pour des raisons techniques d'impressions que le jeu est limité à 55 cartes. On va supposer qu'un même symbole n'apparaît pas sur chaque carte, car sinon, c'est inintéressant. On va voir deux approches pour réaliser ce genre de jeu, avec n symboles par carte. Dans le cas où n  1 est un nombre premier, une solution optimale existe, contenant n(n  1) + 1 cartes, avec autant de symboles et chaque symbole se trouvant sur n cartes. Une approche un peu abstraite est de voir les cartes comme des points du plan projectif sur le corps à n  1 éléments, les symboles étant les droites de ce plan projectif. L'autre approche est de construire un tableau, où les colonnes correspondent aux symboles et les lignes aux cartes. Les croix indiquent la présence du symbole correspondant sur la carte correspondante. Les cartes du jeu de Dobble (complété) peuvent être vues comme les points du plan projectif sur le corps à sept éléments, noté P2(F7). Les symboles en sont les droites. Par dualité, on peut aussi considérer les symboles comme les points et les cartes comme les droites. Construction du jeu. La construction est simple et régulière, si le nombre de symbole par carte moins un est un nombre premier ou une puissance d'un nombre premier. Sinon, je ne connais pas de théorie permettant la construction. Dans la suite, on notera a, b, c, ... les symboles et 1, 2, 3, ... les cartes. On ferra des tableaux, chaque colonne correspondra à un symbole, chaque ligne à une carte et la croix dans le tableau indiquera que le symbole se trouve sur la carte. Cas de 2 symboles par carte, avec 3 symboles et 3 cartes. a b c 1 x x 2 x x 3 x x Le 7.2.2015 Dobble, jeu de cartes, études et généralisations Page : 2 / 15 Cas de 3 symboles par carte, avec 7 symboles et 7 cartes. 7 = 3  2 + 1 a b c d e f g 1 x x x 2 x x x 3 x x x 4 x x x 5 x x x 6 x x x 7 x x x Les lignes 4 à 6 peuvent se noter comme suit : 4 : 112 5 : 222 6 : 121 7 : 211 Le premier chiffre indique le numéro du symbole correspondant à la carte "1" Le deuxième chiffre indique le numéro du symbole correspondant à la carte "2" Le troisième chiffre indique le numéro du symbole correspondant à la carte "3" Il faut que pour chaque paire de lignes, il y ait exactement une colonne ayant un chiffre identique et deux colonnes ayant des chiffres différents. Ce qui suit est très bien décrit sur le site Web référencé en premier sur la première page : http://images.math.cnrs.fr/Dobble-et-la-geometrie-finie.html Construction à l'aide du plan projectif sur le corps à deux éléments, noté P2(F2). L'idée est d'utiliser l'analogie que pour deux points d'un plan, il existe exactement une droite passant par ces deux points. Les points correspondront aux cartes, les symboles correspondront aux droites. Dans un plan quadrillé, on ne considère que les points se trouvant sur les intersections du quadrillage. Chaque point est repéré par un couple de deux nombres entiers (x, y). De plus, on "recolle" le plan de telle sorte que x = 2 est ramené sur x = 0 ; y = 2 est ramené sur y = 0. Chaque point (x, y) est ramené sur un des 4 points (0,0) ; (0,1) ; (1,0) ; (1,1), en additionnant ou soustrayant 2 autant de fois que désiré à x et à y. Cela donne 4 points. On considère 6 lignes, 2 horizontales, 2 verticales et 2 obliques. La ligne bleue semble spéciale, car en sortant à droite, elle revient sur la gauche. Donc, on considère 3 lignes passant par le point noir (0,0) L'horizontale, la verticale l'oblique, passant par le point rouge. On ajoute encore 3 "points", correspondant à chacune des 3 directions de lignes (horiz. vert. oblique). On ajoute une dernière "ligne" qui relie les 3 "points" ajoutés précédemment. Cela fait 4 + 3 = 7 points formant les 7 cartes et 6 + 1 = 7 lignes formant les 7 symboles. Par chaque "point" passe exactement 3 "droites" et à chaque paire de "points" correspond exactement une "droite". C'est un peu abstrait, mais cette abstraction mathématique permet de construire un jeu intéressant. Plus loin, on va refaire cette construction avec plus de points et de droites. Le 7.2.2015 Dobble, jeu de cartes, études et généralisations Page : 3 / 15 Cas de 4 symboles par carte, avec 13 symboles et 13 cartes. 13 = 4  3 + 1 a b c d e f g h i j k l m 1 x x x x 2 x x x x 3 x x x x 4 x x x x 5 x x x x 6 x x x x 7 x x x x 8 x x x x 9 x x x x 10 x x x x 11 x x x x 12 x x x x 13 x x x x Les lignes 5 à 13 peuvent se noter comme suit : 5 : 1113 6 : 2223 7 : 3333 8 : 1232 A part le dernier chiffre, c'est la diagonale du bloc précédent. 9 : 2312 10 : 3122 11 : 1321 A part le dernier chiffre, c'est la diagonale du bloc précédent. 12 : 2131 13 : 3211 Le premier chiffre indique le numéro du symbole correspondant à la carte "1" Le deuxième chiffre indique le numéro du symbole correspondant à la carte "2" Le troisième chiffre indique le numéro du symbole correspondant à la carte "3" Le quatrième chiffre indique le numéro du symbole correspondant à la carte "4" Il faut que pour chaque paire de lignes, il y ait exactement une colonne ayant un chiffre identique et les autres colonnes ayant des chiffres différentes. C'est possible, car 3 est un nombre premier. Avec 5 on va le voir plus loin. Le 7.2.2015 Dobble, jeu de cartes, études et généralisations Page : 4 / 15 Construction à l'aide du plan projectif sur le corps à trois éléments, noté P2(F3). L'idée est d'utiliser l'analogie que pour deux points d'un plan, il existe exactement une droite passant par ces deux points. Les points correspondront aux cartes, les symboles correspondront aux droites. Dans un plan quadrillé, on ne considère que les points se trouvant sur les intersections du quadrillage. Chaque point est repéré par un couple de deux nombres entiers (x, y). De plus, on "recolle" le plan de telle sorte que x = 3 est ramené sur x = 0 ; y = 3 est ramené sur y = 0. Chaque point (x, y) est ramené sur un des 9 points (0,0) ; (0,1) ; (0,2) ; (1,0) ; (1,1) ; (1,2) ; (2,0) ; (2,1) ; (2,2), en additionnant ou soustrayant 3 autant de fois que désiré à x et à y. Cela donne 9 points. On considère 43=12 lignes, 3 horizontales, 3 verticales, 3 obliques et 3 de pente 1/2. La ligne rouge semble spéciale, car en sortant à droite, elle revient sur la gauche. Donc, on considère 4 lignes passant par le point noir (0,0) Je n'ai pas dessiné les autres lignes, mais il faut considérer les parallèles à celles dessinées, qui passent par les autres points verts ou les autres points cyan. On ajoute encore 4 "points", correspondant à chacune des 4 directions de lignes. On ajoute une dernière "ligne" qui relie les 4 "points" ajoutés précédemment. Cela fait 9 + 4 = 13 points formant les 13 cartes et 12 + 1 = 13 lignes uploads/Geographie/ dobble-jeu-8-symboles-par-carte-un-symbole-commun-par-paire.pdf