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Lycée Secondaire Chebbi Tozeur Devoir de Synthèse n°3 Mathématiques Prof : M–Ba

Lycée Secondaire Chebbi Tozeur Devoir de Synthèse n°3 Mathématiques Prof : M–Baklouti & A – Chebbi 06/05/2016 Durée : 3H 4ème Tech 1,2,4 Exercice n° 1 : ( 3 pts )   1 2ln 0 1 1) Soit la suite définie sur par . alors lim est égale à : a) 0 b) 1 c) + 2) lim est égale à : ² a) 0 n n n n n x x e u u u e x e x                 b) 1 c) + 3) Soit un éspace probabilisé fini , ( ), . On désigne par X la variable aléatoire définie par : P p    Soit E(X) et V(X) l'espérance mathématique et la variance de X, alors : a) E(X) = 0 et V(X) = 0 1 a) E(X) = 0 et V(X) = 3 2 a) E(X) = et V(X) = 3 1 3 1 4) Y une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n = 8 et p = . 3 L'écart type (Y) est égal à : 4 8 16 a) b) c) 3 3 9  Exercice n° 2 : ( 4 pts ) Craignant une propagation de gripe infectieuse, un service de santé d'une ville de 50000 habitants a relevé le nombre de consultations hebdomadaires concernant cette grippe dans cette ville pendant 6 semaines. Ces semaines ont été numérotées de 1 à 6. On a noté x les rangs successifs des semaines et y le nombre de consultations correspondant : i i Rang de la semaine : xi 1 2 3 4 5 6 Nombre de consultations : yi 540 720 980 1320 1800 2420 xi -1 0 1 P(X=xi) 1 6 2 3 1 6 1) Représenter, dans l'annexe, le nuage de points et le point moyen G correspondant à cette série . 2) Le nuage de point suggère un ajustement de type exponentielle. On pose . On arrondi z = ln(y) ra au centième les résultats de calculs. a) Recopier et compléter le tableau suivant : Rang de la semaine : xi 1 2 3 4 5 6 zi = ln(yi) 0.3 b) Déterminer le coefficient de corrélation de la série (x , z ). c) Donner une équation de la droite de regréssion de z en x. d) En déduire que y = 396,95.e . 3) En utilisa xz i i x r  nt ce dérnier ajustement de type exponentielle, trouver par calcul : a) Une estimation du nombre de consultations à la 10 semaine. b) La semaine à partir de laquelle le nombre de consulta ème tions dépassera 25% de la population. Exercice n° 3: ( 4 pts ) Un opérateur téléphonique propose à ses abonnés deux types d'accés internet à haut débit : Un accés internet sur une ligne fixe. Un accés G sur téléphone portable. Aujourd'hui, l'entrepr   ise fait les constats suivants sur les accés internet à haut débit de ses abonnés : 58% des abonnés ont un accés internet sur ligne fixe. parmi ceux-là, 24% ont également un accés 3G  sur téléphone portable. Parmi les abonnés qui n'ont pas d'accés internet sur ligne fixe, 13% ont un accés 3G sur téléphone portable. ˆ Pour une enquete, la fiche d'un abonné est prélev  ée au hasard, on note les évènements : F : " la fiche est celle d'un abonné qui a un accés internet sur ligne fixe". G : " la fiche est celle d'un abonné qui a un accés 3G sur téléphone   portable". 1) En utilisant les données de l'énoncé, préciser les valeurs de p(F), p(G/F) et de p(G/ ). 2) Construire un arabre de probabilité traduisant la situation. 3) Calculer p(F G). F  4) a) Vérifier que la probabilité que la fiche prélevée soit celle d'un abonné qui n'a pas d'accés 3G sur téléphone portable est de 0,8062. b) Peut-on affirmer qu'au moins 25% des abonnés ont un accés 3G sur téléphone portable? 5) On prélève successivement les fiches de trois abonnés. Calculer la probabilité qu'exactement une des fiches tirés soit celle d'un abonné qui n'a pas d'accés 3G sur téléphone portable. 6) Cet opérateur téléphonique utilise des antennes-relais dont la durée de vie exprimée en années est une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,035. a) Calculer l  a probabilité qu'une antenne-relais ait une durée de vie inférieur à 6 ans. b) Sachant qu'un antenne-relais a fonctionné 12 ans, quelle est la probabilité qu'il reste encore fonctionnel au bout de 10 ans. Exercice n° 4 : ( 4 pts )         0 2 1 2 On considère la suite définie sur par 2 1 1) a) Montrer que, pour tout n , on a : 1. b) Montrer que la suite est décroissante. c) En déduire que est convergente n n n n n n n u u u u u u u u                      0 2 1 et déterminer sa limite. 2) On désigne par et les suites définies sur par : 1 = et a) Calculer . b) Montrer que, pour tout n , on a : . c) n n n n n n n n n v w u v w Ln v u w v v          En déduire que est une suite géométrique dont on précisera la raison. d) Exprimer puis en fonction de n. e) Retrouver lim . n n n n n w w u u  Exercice n° 5 : ( 5 pts )   Le plan est muni d'un repère orthonormé (O,i,j).La courbe représenté ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction f' fonction dérivé de f définie sur . La courbe possède au point d'ab R   C C scisse -1 une tangente horizontale. 1) Par une lecture graphique ( ) a) Déterminer lim ( ) lim ( ) lim . b) Déterminer le tableau de variation de ( ). c) En déduire le s x x x f x f x f x x f x    ' ' ' '  igne de ( ) sur . . f x est la représentation graphique de f dans le repère R   x Dans la suite de l'exercice on admet que f(x) = 1+ (2 - 2x)e ' 2) a) Calculer lim ( ) et lim ( ). b) Calculer '( ) et dresser le tableau de variation de . x x f x f x f x f    3) a) Montrer que l'équation ( ) 0 possède, dans , une unique solution . b) Vérifier que 1 < < 1,5. ˆ c) Tracer la courbe de dans le meme repère R(O,i,j) dans l'annexe. 4) Soit la rest f x f g          1 1 riction de sur 0, . a) Montrer que admet une fonction réciproque définie sur un intervalle J qu'on déterminera. ˆ b) Tarcer la courbe de dans le meme repère R(O,i,j) dans l'anne f g g g      '    1 0 xe. 5) a) Montrer, en utilisant une intégration par parties, que : 1 2. b) Calculer l'aire de la partie du plan limitée par la courbe de , l'axe des abscisses et les droites x x e dx e f      3 1 1 d'équations 0 et 1. c) En déduire la valeur de l'intégral ( ) . x x g x dx     Feuille a rendre Exercice n° 2 : Exercice n° 5 : Rang de la semaine : x Nombre de consultations : y 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 0 1 200 x y 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 2 3 -1 -2 -3 0 1 1 x y uploads/Geographie/ ds3-4-tech-2016 1 .pdf