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Université Chouaïb Doukkali Faculté des Sciences Département de Physique Travau

Université Chouaïb Doukkali Faculté des Sciences Département de Physique Travaux dirigés d'électricité 3 SMP4 - 2014/2015 1. Milieux diélectriques 2. Milieux aimantés 3. Circuits magnétiques 4. Equations de Maxwell Milieux diélectriques Série N 1 Exercice 1 : Une molécule polaire de moment dipolaire − → p est placée à l'ori- gine O d'un axe (Ox), son moment dipolaire étant orienté suivant l'axe Ox. On applique un champ électrostatique uniforme − → E 0 = E0− → e x. On repère la position d'un point M par ses coordonnées polaires (r, θ). 1. Déterminer l'expression du potentiel électrostatique V0(M) associé au champ électrostatique − → E 0 au point M. On prendra comme origine du po- tentiel V0 le point O. 2. En déduire le potentiel electrostatique V (M) créé en M par la molécule et le champ électrostatique − → E 0, en se placant dans l'approximation dipolaire. 3. Quelle est la nature de l'équipotentielle V = 0 ? 4. Montrer qu'il existe deux points de champ nul, en précisant leur position. Exercice 2 : On place au point O de l'axe (Ox) un dipôle dont le mo- ment dipolaire − → p est orienté selon − → e x. A une distance x sur l'axe (Ox), on place un cation de charge Q. On suppose que le dipôle est su samment loin du cation, i.e., x est grand devant la longueur du dipôle. 1. Exprimer le champ électrostatique − → E créé par le dipôle au niveau du ca- tion. 2. Quelle est la force − → F exercée par le dipôle sur le cation ? L'interaction est-elle attractive ou répulsive ? En déduire l'énergie potentielle W du cation dans le champ du dipôle. 3. Donner le champ électrique − → E ′ créé par le cation au centre du dipôle. En déduire l'énergie potentielle W ′ du dipôle dans le champ du cation. 4. Comparer W ′ et W. Conclusion. 3 Exercice 3 : Deux dipôles de moment − → p 1 et − → p 2 sont placés dans la con - guration indiquée sur la gure, à une distance r l'un de l'autre. 1. Exprimer l'énergie potentielle W2 du dipôle de moment − → p 2 placé dans le champ du dipôle de moment − → p 1. 2. En déduire la relation entre les angles θ1 et θ2 lorsque le dipôle de moment − → p 2 est dans une position d'équilibre. Exercice 4 : Considérons une lame diélectrique (l.h.i.) de permittivité rela- tive εr, placée dans un champ électrique uniforme − → E 0 (voir gure). Les faces de la lame sont considérées comme des plans in nis. 1) Déterminer le champ électrique − → E à l'intérieur de la lame en fonction de − → E 0 et εr. En déduire la polarisation − → P à l'intérieur du diélectrique. Préciser le sens de − → P . 2) Déterminer le champ électrique dépolarisant − → E p créé à l'intérieur du di- électrique. Quel est le sens de − → E p ? 3) Calculer les densités de charges ctives de polarisation. 4) Retrouver le champ électrique dépolarisant − → E p à partir des charges de polarisation. 4 Corrigé Exercice 1 : Une molécule polaire de moment dipolaire − → p est placée à l'origine O d'un plan (Oxy), son moment dipolaire étant orienté suivant l'axe Ox. On applique un champ électrostatique uniforme − → E 0 = E0− → e x. On repère la position d'un point M par ses coordonnées polaires (r, θ). 1. Le potentiel électrostatique V0 = − ∫− → E 0.d− − → OM = − ∫ E0dx = −E0x + cte On prendra comme origine du potentiel V0 le point O, d'où : V0 = −E0x = −E0r cos θ 2. Le potentiel electrostatique V (M) créé en M par le champ électrostatique − → E 0 et la molécule (dipôle − → p ), en se placant dans l'approximation dipolaire (détails de calcul dans le cours) s'écrit : V (M) = p cos θ 4πε0r2 −E0r cos θ = cos θ( p 4πε0r2 −E0r) 3. V = 0 ⇒ θ = ±π/2 ou r3 = p 4πε0E0 L'équipotentielle V = 0 est le plan (Oyz) (θ = ±π/2) et la sphère de centre O et de de rayon r = ( p 4πε0E0 )1/3 4. Le champ électrique est − → E (M) = −− − → gradV = −∂V ∂r − → e r −1 r ∂V ∂θ − → e θ = cos θ( p 2πε0r3 + E0)− → e r + sin θ( p 4πε0r3 −E0)− → e θ 5 Il existe deux points de champ nul : [r = ( p 4πε0E0 )1/3, θ = π/2] et [r = ( p 4πε0E0 )1/3, θ = −π/2] Exercice 2 : On place au point O de l'axe (Ox) un dipôle dont le moment dipolaire − → p est orienté selon − → e x. A une distance x sur l'axe (Ox), on place un cation de charge Q. On suppose que le dipôle est su samment loin du cation, i.e., x est grand devant la longueur du dipôle. 1. Le champ électrostatique créé par le dipôle au niveau du cation est − → E = p 2πε0x3 − → e x 2. La force exercée sur le cation par le dipôle est − → F = Q− → E = pQ 2πε0x3 − → e x L'interaction est répulsive (déplacement vers les x croissants). L'énergie potentielle W du cation dans le champ du dipôle peut être cal- culée à partir de la relation : − → F = −− − → gradW = −∂W ∂x − → e x soit : W = −pQ 2πε0 ∫dx x3 = pQ 4πε0x2 + cte W →0 si x →∞ ⇒ cte = 0, d'où : W = pQ 4πε0x2 3. Le champ électrique créé par le cation au centre du dipôle est − → E ′ = − Q 4πε0x2 − → e x L'énergie potentielle W ′ du dipôle dans le champ du cation est W ′ = −− → p .− → E ′ = pQ 4πε0x2 6 4. W ′ = W. Le cation subit la même force qu'il exerce sur le dipôle (principe d'action et de réaction). Exercice 3 : Deux dipôles de moment − → p 1 et − → p 2 sont placés dans la con - guration indiquée sur la gure, à une distance r l'un de l'autre. 1. L'énergie potentielle W2 du dipôle de moment − → p 2 placé dans le champ du dipôle de moment − → p 1 est W2 = −− → p 2.− → E 1 = −p2(cos θ2− → e r + sin θ2− → e θ).[2p1 cos θ1 4πε0r3 − → e r + p1 sin θ1 4πε0r3 − → e θ] = −p1p2 4πε0r3 [2 cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2] 2. Le dipôle de moment − → p 2 est dans une position d'équilibre (r, θ2) si ∂W2 ∂θ1 = 0, soit : −2 sin θ1 cos θ2 + cos θ1 sin θ2 = 0 d'où : tan θ1 = 1 2 tan θ2 Exercice 4 : 1. On a : − → D = ε− → E et − → D0 = ε0− → E 0. La relation de passage sur la face (1) de la lame diélectrique, non chargée (σ = 0), s'écrit : − → n .(− → D −− → D0) = σ = 0 ⇔ εE −ε0E0 = 0 ⇔ E = ε0 ε E0 D'où : − → E = − → E 0 εr = E0 εr − → n 7 et la polarisation : − → P = − → D −ε0− → E = (ε −ε0)− → E ⇔ − → P = ε0(1 −1 εr )− → E 0 εr > 1 ⇒ 1 −1 εr > 0 ⇒ − → P est de même sens que − → E 0. 2. Le champ électrique dépolarisant : − → E p = − → E −− → E 0 = ( 1 εr −1)− → E 0 1 εr −1 < 0 ⇒ − → E p est de sens opposé à − → E 0. 3. Charges de polarisation : σp1 = − → P . − → n 1 |{z} −− → n = −ε0(1 −1 εr )E0 < 0 σp2 = − → P . − → n 2 |{z} − → n = ε0(1 −1 εr )E0 > 0 ρp = −div− → P = 0 (− → P uniforme). 4. Sachant que le champ créé par une face de la lame (considérée comme un plan in ni), portant la charge surfacique σp est de σp 2ε0 ; pour un point M à l'intérieur de la lame (entre ses deux faces), on a : − → E p uploads/Geographie/ exercices-corriges-electricite-3-fsj-2014-2015.pdf