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Octobre 2015 Abdelmoughit ABIDI Tél : 0673061688 Email : abidiabdelmoughit@gmai

Octobre 2015 Abdelmoughit ABIDI Tél : 0673061688 Email : abidiabdelmoughit@gmail.com INSTITUT DES MINES DE MARRAKECH www.emm.ac.ma Eléments de Statistique Echantillonnage des minerais Introduction : Il existe deux types de phénomènes : les uns sont tels que pour une situation donnée, le phénomène est toujours le même : on parle de phénomène déterministe, telle que la chute libre ou la combustion… d’autres sont tels que pour une situation donnée, le phénomène peut se présenter sous des aspects différents, ce sont des phénomènes non déterministes pour lesquels on ne connait pas de lois permettant de relier de façon certaine, les caractéristiques observables entre elles. L’un des objectifs de la statistique est de fournir des lois statistiques traduisant la tendance majeure d’un phénomène observable, et de servir d’aide à la prise de décisions. La détermination du modèle probabiliste (loi de probabilité) qui décrit mieux le phénomène passe par trois étapes principales : Le choix du type de modèle, soit à travers le traitement des observations effectuées ou après études des conditions de la réalisation de ces observations qui mèneront à la recevabilité théorique du modèle. L’ajustement du modèle, c’est-à-dire la détermination des valeurs des paramètres pour le rendre opérationnel. La validité du modèle, dans laquelle intervient la théorie des tests d’hypothèses. Ces aspects sont du domaine de la statistique mathématique. La statistique peut avoir comme objectifs, moins ambitieux certes, mais fort utile, le tri, le regroupement des informations ou des observations (tableaux), leur représentation graphique et leur condensation dans des indicateurs tels que la moyenne par exemple. Ces aspects constituent le domaine de la statistique descriptive. Par A.ABIDI, abidiabdelmoughit@gmail.com Page 2 1. Vocabulaire : La statistique utilise un vocabulaire particulier emprunté en majorité à la démographie. 1.1 Individu : Le phénomène étudié l’est au travers d’observations, mesures ou repérages. Les individus sont les objets de l’observation. Ils peuvent être concrets (enfants, fleurs, paquets, bouteilles, pièces,…) ou abstraits et ne servent qu’à individualiser les observations (accident, ménages,…), l’individu est aussi appelé unité statistique. 1.2 Population : La population ou univers statistique est l’ensemble de tous les individus ou unités statistiques concernés par l’étude statistique. Elle doit être définie de manière précise, ne laissant subsister aucun doute quant à l’appartenance ou non d’un individu donné à cette population. Ex. P1 = Etudiants de la 1ère année de l’IMM pour l’année 2010-2011 P2= nombre d’accidents de la circulation routière au Maroc entre le 1er janvier 2010 et le 31 décembre 2010 1.3 Variable statistique : C’est le caractère observé, mesuré ou repéré dans chaque unité statistique. Ex. - ‘’couleur des yeux’’, c’est un caractère qualitatif. Il prend des valeurs appelées modalités : marron, noir, bleu, vert,… - ‘’nombre d’enfants par ménage’’ variable statistique quantitative, discrète. Elle prend des valeurs entières : 0, 1, 2, 3, … - ‘’taille de l’individu’’ variable statistique quantitative, continue. Elle prend n’importe quelle valeur dans un sous ensemble de R+. 1.4 Distribution statistique : C’est la répartition des unités statistiques (individus) observés, selon la valeur que prend la variable statistique. Ex1. Répartition des ménages selon le nombre d’enfants : Cette distribution peut être représentée graphiquement. Représentation graphique : Diagramme en bâtons. Par A.ABIDI, abidiabdelmoughit@gmail.com Page 3 Nombre d’enfants ni fi 0 10 6,80 1 20 13,61 2 50 34,01 3 40 27,21 4 15 10,20 5 6 4,08 6 3 2,04 7 2 1,36 8 1 0,68 147,00 100,00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 10 20 30 40 50 60 effectif ni fréquence fi Elle peut aussi être résumée par : Sa moyenne : x=∑ i=1 i=8 ni xi ∑ i=1 i=8 ni =370 147 =2,5 Sa variance (et son écart type) : V ( x)=∑ i=1 i=8 ni ( xi−x )2 ∑ i=1 i=8 ni =308 , 75 147 =2,1 σ x=√V (x ) σ x=1, 45 Ex.2. Représentation graphique : Diagramme en histogramme L’histogramme sert à représenter les fréquences absolues (effectifs) ou relatives associées aux valeurs prises par les unités d'un caractère quantitatif, lorsque ces valeurs ont été regroupées par catégories. La méthode de construction de l'histogramme est différente suivant que l'on utilise des catégories d'amplitudes égales ou que l’on utilise des catégories d'amplitudes inégales. Par A.ABIDI, abidiabdelmoughit@gmail.com Page 4 a)- Histogramme avec amplitude de classes identiques : Soit l’exemple d’un échantillon de 110 ménages dont le revenu mensuel en euros est donné par la série classée ci-après : b)- Histogramme d’effectifs avec catégories numériques d’amplitudes différentes Par A.ABIDI, abidiabdelmoughit@gmail.com Page 5 Ex.3.Représentation graphique : Diagramme en secteurs Prix de revient flottation : Réactifs énergie pièces de rechange main d'œuvre eau autres 2. Notions de probabilités : La théorie des probabilités est liée à l’étude des expériences dont les résultats sont indéterminés et soumis au hasard. Soit une expérience quelconque aléatoire, et soit Ω l’ensemble de tous les résultats possibles de cette expérience. Ω est appelé l’univers, ou l’espace fondamental associé à l’expérience. Ex.1 : on lance un dé, Ω est fini, Ω = {1,2,3,4,5,6} Ex.2 : on lance une pièce de monnaie 2 fois, Ω est aussi fini Ω = {{P1,P2},{P1, F2},{F1, P2}, {F1, F2}} Un événement est une partie de Ω Dans l’Ex.1, A= {4 } est un événement B=’’le résultat est pair’’ est un autre évènement= {2,4,6} Ex3. : si on s’intéresse à la teneur en Cu d’un minerai donné, dans ce cas Ω , l’univers est infini, Ω=[0,100] ⊂ℜ’’la teneur est < à 2% ‘’est un évènement, de même ‘’la teneur est comprise entre 0,5 et 2%’’ est un autre évènement. Etant donné l’univers Ω et l’ensemble A des évènements, ( Ω , A) est appelé espace probabilisable. L’évènement A est réalisé si le résultat de l’expérience est un élément de A, ( ω∈A ) . Par A.ABIDI, abidiabdelmoughit@gmail.com Page 6 Postes participation au prix de revient en % Réactifs 30 énergie 25 pièces de rechange 18 main d'œuvre 12 Eau 5 autres 10 100 En particulier Ω est toujours réalisé : c’est l’évènement certain. ∅n’est jamais réalisé : c’est l’évènement impossible. L’évènement contraire de l’évènement A est l’évènement qui est réalisé quand A n’est pas réalisé, on le note A . La probabilité sur un espace ( Ω , A) est l’application qui associe à chaque point ωi de Ω sa probabilité élémentaire, qui est un nombre positif ∈[0,1] : p: Ω [0,1] ωi p ( ωi )= pi et ∑pi=1 Ainsi : p( A)= ∑ ωi∈A pi Ex. lancé de dé : p(ωi)=1 6 pour l ' évènement A={2,4,6 }, p( A)=p(2)+ p( 4)+ p(6)=3 6 =1 2 p(Ω)=1 p( A)=p(résultat impair)=1−p( A )=1−1 2 =1 2 3. Variable aléatoire : Un joueur lance une pièce de monnaie trois fois de suite et enregistre le résultat des trois lancés. On note X le nombre de ‘’pile’’ obtenus. Soit l’univers associé aux trois lancés : Ω={FFF , FFP, FPF ,FPP ,PFF , PFP, PPF ,PPP } , on peut remarquer que le nombre X prend des valeurs : 0, 1, 2, ou 3 et on peut calculer la probabilité de chacune de ces valeurs si on sait probabilisé l’univers. p( X=0)=p({FFF }= 1 8 p( X=1)= p( {PFF , FPF ,FFP }= 3 8 p( X=2)= p( {PPF , PFP, FPP }=3 8 p( X =3)= p({PPP }=1 8 Xi 0 1 2 3 pi= p( X= Xi) 1/8 3/8 3/8 1/ 8 ∑pi=1 Par A.ABIDI, abidiabdelmoughit@gmail.com Page 7 4. Variable statistique et variable aléatoire : La variable aléatoire est l’ensemble des valeurs possibles d’un tirage ou d’une expérience, auxquelles sont rattachées des nombres traduisant leurs chances ou probabilités d’apparaitre. Ex. : dans le lancé d’un dé ‘’non pipé’’, la variable aléatoire X (notée V.A.X) peut prendre des valeurs 0 ,1, 2, 3, 4 , 5, et 6. Avant de procéder au lancé du dé, notre intuition liée à la connaissance que nous avons du monde physique qui nous entoure, nous souffle que les 6 faces ont chacune la même chance d’apparaitre : p( X =i)= 1 6 i=1,2,3,4,5 ou 6 Pour juger de la qualité de ce modèle proposé, il est aussi intuitif de penser que la relation entre le modèle composé de la variable aléatoire définie par les valeurs possibles de X et leurs probabilités associés d’une part et la réalité observée d’autre part, se fera par l’intermédiaire d’une variable statistique, telle la fréquence relative fi de l’apparition des différentes faces lors d’une expérimentation. La loi des grands nombres stipule que fi est d’autant plus proche de 1/6 que le nombre de lancés est plus grand. Si les valeurs possibles de X, sont réparties de façon continue sur un intervalle fini ou infini, X est une variable aléatoire continue. Une telle variable est définie si l'on connait la probabilité pour que X prenne une valeur dans tout intervalle [x, x + h [. On se donne pour cela la fonction de répartition de X : P(x)=P(X<x) qui permet de calculer, pour tout intervalle : P (x≤X<x+h) = P(x+h) – P(x) Un cas particulier important, auquel nous nous attacherons exclusivement dans ce qui suit, est celui où la uploads/Geographie/ echantillonnage-des-minerais.pdf