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CHAPITRE 2 : Les régimes permanents Plan 1. Milieu conductif sans source intern

CHAPITRE 2 : Les régimes permanents Plan 1. Milieu conductif sans source interne 2. Milieu conductif sans source externe 3. Bilan thermique de type " ailette " Il s’agit de résoudre le système d’équations linéaires(*) : représente la surface de la frontière extérieure i, l’indice i est au maximum égal à 6. (*) Pour un milieu conductif répondant à l’hypothèse de " barre thermique ", on obtient l’équation . Les techniques de résolution sont transposables directement à cette équation. Ce système d’équations est décomposable, par superposition rendue possible par la linéarité des équations, en deux systèmes notés 1 et 2 : système 1 système 2 Le champ de température est alors égal à Le système 1 correspond à un milieu conductif sans source interne soumis à au moins une source externe, le système 2 correspond à un milieu conductif sans source externe soumis à des sources internes. 1. Milieu conductif sans source interne (système 1) 1.1. Résistance thermique 1.1.1. Définition On considère deux surfaces isothermes S1 et S2de températures et . Ces deux surfaces sont correspondantes c’est à dire que toute ligne de flux quittant la surface S1 atteint la surface S2 . Pour un milieu conductif en régime permanent sans source interne, le bilan thermique s’écrit . Appliquons, sur le volume fermé délimité par les deux surfaces isothermes S1 et S2 et la surface latérale constituée de toutes les lignes de flux s’appuyant sur le contour fermé délimitant les deux surfaces isothermes, le théorème d’Ostrogradsky, Entre surfaces isothermes correspondantes le flux de chaleur est conservé. Pour une surface isotherme quelconque S du tube de courant Le calcul de la circulation de suivant une ligne de flux quelconque joignant les surfaces isothermes S1 et S2 conduit à : La multiplication de par un coefficient quelconque entraine la multiplication par le même coefficient de . On obtient donc la relation : R est appelée résistance thermique, c’est l’analogue thermique de la résistance électrique. Elle est inversement proportionnelle à la conductivité du milieu et augmente avec la longueur des lignes de flux. 112 Résistances thermiques en série, en parallèle Tubes de flux de chaleur en série Tubes de flux de chaleur en parallèle Les surfaces isothermes S1 S2 d’une part, S2S3 d’autre part se correspondent, leurs températures respectives sont . Entre S1 et S2 , le milieu conductif est noté A, entre S2 et S3 le milieu conductif est noté B. Par suite Les deux milieux sont en série, la résistance thermique équivalente est la somme des résistances de chacun des milieux. Si le contact entre les deux milieux n’est pas parfait en S2 , il conviendrait d’ajouter dans la résistance équivalente la résistance de contact. Les surfaces isothermes S1 S2 d’une part, S’1 S’2d’autre part se correspondent, leurs températures respectives sont pour S1 et S’1 , pour S2 et S’2 . Entre S1 et S2 , le milieu conductif est noté A, entre S’1 et S’2 le milieu conductif est noté B. Les deux milieux sont en parallèle, l’inverse de la résistance équivalente est égale à la somme des inverses des résistances de chacun des milieux. 1.1.3. Résistance thermique relative à un coefficient d’échange h  Remarque : on retrouve les relations classiques de l’électrocinétique des courants continus sur l’association de résistances. 1.2. Les problèmes monodimensionnels 1.2.1. Le mur En Thermique, on appelle " mur " un milieu dont les évolutions de température dépendent de la seule variable cartésienne x (les gradients dans tout plan perpendiculaire à l’axe Ox sont nuls).  Examinons le cas d’un mur en régime permanent sans sources internes  et . représente la résistance thermique pour une section transversale S et le flux de chaleur.  Retour sur la notion de " résistance thermique de contact " Examinons, en régime permanent, le cas de deux murs " accolés " (de même section avec une face commune) sans sources internes Un bilan thermique entre deux sections quelconques prises dans chacun des deux murs conduit à : puisque les sections transversales ont même surface. Par suite, ; Le problème posé est celui de l’écart . L’extrapolation jusqu’au contact du champ de température dans le milieu 1 conduit à la valeur qui est différente de température d’extrapolation jusqu’au contact dans le milieu 2 si la couche de transition est notable c’est à dire s’il existe un phénomène de constriction entrainant un allongement des lignes de flux. Ceci explique l’introduction d’une résistance thermique supplémentaire appelée résistance thermique de contact puisque la résistance thermique augmente avec la longueur des lignes de flux.  les milieux composites Exemple 1 : brique creuse La dimension transversale de la brique est égale à H. Dans la cavité d’air, coexistent, en parallèle, des échanges par rayonnement et par conduction si on considère que les dimensions sont suffisamment faibles pour empêcher les mouvements convectifs. La résistance pour la cavité d’air est égale à : La résistance pour la partie centrale sera : La résistance pour les " parties pleines " est égale à : Ces deux résistances sont en parallèle si bien que la résistance globale de la brique sera : en introduisant une conductivité équivalente pour le matériau composite considéré alors comme un matériau conductif homogéne. Application numérique : Exemple 2 : milieu poreux Les transferts série ou parallèle sont mal définis. On appelle  la porosité c’est à dire la proportion en volume des cavités. Pour le schéma série, Pour le schéma parallèle, Généralement, on considère qu’il y a autant de schémas séries et parallèles 1.2.2. Symétrie de révolution autour d’un axe ; où r est la distance à l’axe et L une longueur axiale arbitraire. et . représente la résistance thermique ( ). 1.2.3 Symétrie sphèrique ; où r est la distance au centre de symétrie. et représente la résistance thermique ( ). 1.2.4. Milieu semi-infini La surface du milieu semi-infini est supposée isotherme, sa température est prise comme température de référence. Sur la figure le milieu semi-infini s’étend vers le bas, à une profondeur l existe une canalisation de grande longueur L, de rayon r0 et de températureT0 . Pour trouver le champ de température en un point M, on associe, vers le haut, un milieu semi-infini identique dans lequel on place une canalisation identique à température -T0 . L’application des solutions du paragraphe 1.2.3. donne : . Les surfaces isothermes sont données par r’/r = Cste  cylindres de longueur L (cercles dans le plan de la figure). D’autre part r = r’  plan médiateur tel que T = 0 . L’application de cet exercice est le cas d’une canalisation enterrée. L’hypothèse d’un sol isotherme est discutable, aussi il convient que la chute de température à partir de la canalisation soit suffisante ce qui implique l >> r0 . Sur la canalisation, on aura r = r0 , et . Pour apprécier la validité du calcul, nous envisageons un rapport et calculons l’isotherme .  La résistance thermique est égale à  Le lecteur pourra envisager, sans difficulté, le calcul d’un réservoir sphérique enterré. Il trouvera, par un calcul identique,  On trouve, dans la littérature, les résistances thermiques de canalisations et de cuves enterrés de formes diverses. Les méthodes de calcul sont approchées.  La méthode de calcul que nous avons employée est connue, en électrostatique, sous le nom de " méthode des images ". 1.2.5. Les barres ou " ailettes " Quand le transfert thermique entre une surface et un fluide est faible, on place sur celle-la des ailettes conductrices pour augmenter les échanges. Ces ailettes qui pénètrent dans le fluide dans une direction Ox sur une profondeur L peuvent être à section uniforme ou non. L’approximation dite de la " barre " consiste à dire que le gradient de température est essentiellement dans une direction Ox c’est à dire que dans une section x = Cste le champ de température est, en première approximation, uniforme. Toutefois, et contrairement à l’hypothèse de " mur thermique ", on ne néglige pas les échanges de chaleur dans les directions transversales, on en tient compte par l’intermédiaire d’un coefficient h traduisant les échanges par convection et rayonnement.  Validité de l’hypothèse de barre On considére un mur en contact avec un fluide.  Si le nombre de Biot est faible, on peut considérer que le gradient de température est nul en première approximation dans la direction considérée.  Mise en équation Le bilan thermique entre la section x et la sectionx + dx conduit à :  sont respectivement la section et le périmètre en x. La température extérieure sera prise comme température de référence soit .  Ailettes à section uniforme (rectangulaire ou circulaire) Pour la section rectangulaire, Pour la section circulaire, Le système d’équations à résoudre s’écrit : La solution est si : Le flux de chaleur évacué par l’ailette peut être calculé de deux manières : - en calculant le flux de chaleur du aux coefficients d’échanges suivant les éléments de surface en contact avec l’extérieur, - en calculant (plus agréable) le flux de chaleur entrant par conduction uploads/Geographie/ exercice-trensfert1.pdf