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1 :::, ni .c u ô ~ ~ :::, 8 .9 0 .c a.. les angles sous tous les . , Deux Illille ans d ~DITIONS. POLE Bibliothèque Tcing e L 'aventure nsathé.,..atique Tangente Hors-série n° 53 les angles sous tous les angles ËDITIONS. POLE © Éditions POLE - Paris - Mars 2015 Toute représentation, traduction, adaptation ou reproduction, même partielle, par tout procédé, sur quelque support que ce soit, en tout pays, faites sans autorisation préalable, est illicite et exposerait le contrevenant à des poursuites judiciaires (loi du 11 mars l 957). ISBN : 9782848841854 ISSN : 2263-4908 Commission paritaire : 1016K80883 Prochain entent dans la Bibliothèque Tangente EDITIONS. POLE les angles Angles corniculaires et de demi-cercle chez Euclide D'Euclide à Hilbert Les multiples personnalités de l'angle L'angle, un concept ambivalent Quelques inégalités angulaires Dans le triangle Les angles opposés par le sommet l •X•f }1 i a ,1 les angles en géométrie classique Chacun de nous les a rencontrés à l'école et pense tout savoir d'eux, qu'ils soient exprimés en grades, degrés ou radians. Les outils qui permettent de les construire sont connus de tous : règle, compas, rapporteur ... Pourtant, la notion d'angle n'est pas si simple, à commencer par sa définition ! Le théorème de l'angle inscrit Les rotations et symétries, des transformations qui tournent bien Tous les triangles sont-ils équilatéraux ? Le billard, une affaire à rebondissements Sous l'angle des symétries Angles et lunules quarrables L'exponentielle complexe Courbes orthoptiques et friandises géométriques Les transformations conformes DOSSIER la tri onométrle La trigonométrie n'a pas toujours bonne presse. Elle est pourtant d'une importance capitale pour se repérer, tant en mer que dans l'espace. L'approche géométrique des nombres complexes lui a donné ses lettres de noblesse. Du théorème de Pythagore à une formule de trigonométrie Le théorème des sinus Angles, fonctions hyperboliques et génie électrique Angles, produit scalaire et orthogonalité L'astronomie, grande consommatrice de trigonométrie (suite du sommaire au verso) Hors-série n° 53. Le l •X•t}i i 4 ,1 mesurer les an les Le plus simple pour mesurer un angle est de prendre son rapporteur. Très bien, mais comment mesurer des angles sur le terrain, entre des éléments de paysage ? Ou en mécanique de précision ? Ces questions nécessitent de revenir au sens physique de l'angle. D'où nous viennent les degrés La mesure des angles L'arc de sinus, d'al-Khawarizmi à Apian Le dos de l'astrolabe, alidade et carré des ombres L'astrolabe planisphérique Faisons le point ... Des angles dans tous nos outils Des phases qui nous font tourner la tête ! .l.• .. X .. •.1: .. }.:1 .. 11111.4._; .. l.__ ___ ~ L ~a~g~é~ o ~métrie dans l'espace Dans l'espace, la notion d 'angle solide s'inspire de celle d'angle du plan. A la différence près que si les rotations du plan sont aisées à comprendre, leurs homologues en trois dimensions ne se laissent pas appréhender de la même manière ... L'angle solide Les systèmes élémentaires de coordonnées Des géométries sous un nouvel angle Les coordonnées géographiques Toutes latitudes Les rotations, si simples avec les quaternions ! Quand les atomes s'organisent Une notion d'angle même dans des espaces très abstraits En bref Le dictionnaire des angles Note de lecture Références Problèmes Solutions Tangente Hors-série n• 53. Les angles par B. Hauchecorne et H. Lehning le Petit Rilpporteur Rapporteur : outil de mesure d'angles connu pour son côté délateur ... Nous dédions notre définition à la mémoire de Pierre Desproges ( 1939-1988), qui aurait pu en être l'auteur, et dont le nom reste atta- ché au Petit Rapporteur, une émission culte des années 1970 . Cette émission traitait de l'actualité sous l'angle pervers du petit bout de la lorgnette. Malgré ce point, son rap- port avec les angles et les mathématiques peut sembler anecdotique. La devise du Petit Rapporteur fait référence à celle du Figaro : « Sans la liberté de blâmer, il n'est point d'éloge flatteur. » Cependant, l' humour du Petit Rapporteur évoque bien celui des mathématiciens, qui frôle toujours l'absurde. On s'en convain- cra au travers de quelques pièces d'an- tho log ie access ibl es sur Interne t , e n particulier de la fa meuse interview de Françoise Sagan par Desproges et de la bataille de boudin blanc entre Desproges et Daniel Prévost, sans parler de la visite à Montcuq du même Prévost. .. EN BREF /dus ab angulo Les Romain utilisèrent angulus, mot signifiant coin pour traduire le grec gonia de même sen mai utilisé en mathématique pour désigner un angle. Le Vatican a récemment repris ce en premier en dénommant ictus ab angulo le coup provenant du coin, oit le coup de pied de coin en football , plus connu sous son nom anglais de corner. Ce mot angulus se rattache à une racine indoeuro- péenne « ang », qui signifie serré, étroit. On la retrouve dan les mots « angine » et« angoi se», faisant allu- sion à la sen ation de gorge serrée. Devenu « angle » en français médiéval, il conserve son ens latin de coin et l'on pouvait parler par exemple d'un « angle de mer » ; l'expression « à l'angle de la rue » en e tune survivance. Au XIII 0 siècle, Johannes Campanus de Novare (il écrivait bien sûr en latin) s'intéresse à l'angle d'une courbe avec sa tangente, preuve d'un sens plus général que de nos jours. Il remarque d'ailleurs que celui-ci est toujours inférieur à l'angle de deux droites écantes. « Angle », en français , ne retrouve on sen mathématique qu'à l'époque de Descartes alors que renaît l' intérêt pour la géométrie. Le nom « triangle » est repris sur le latin triangulus, lui-même traduction du grec trigonos. « Rectangle » est calqué sur le latin médiéval rectangulus ; c'est d'abord un adjectif, qua- lifiant toute figure ayant un angle droit. Au XVIIe siècle, le parallélogramme rectangle devient un rectangle mais l'adjectif se conserve dans l'expres- sion « triangle rectangle ». Hors-série n• 53. Les angles Tangente HISTOIRES par J. Bair et V. Henry Hngles corniculaires et de demi-cercle chez Euclide On a tous une idée de ce qu'est un angle formé par deux demi- droites. On connaît moins les angles mixtilignes, en particulier les angles corniculaires ou les angles de demi- cercle. Et pourtant, ces concepts datent del' Antiquité : ils sont par exemple présents chez Euclide. Eudide Les Éléments VOLU M 1 1 ............... 1.Jm,WV L e concept d'angle est sans aucun doute fond amental en géomé- trie, mais il est des plus com- plexes. D 'ailleurs, il est absent des premiers écrits mathématiques connus, à savoir des textes mésopotamiens et égyptiens datant des deuxième et troi- sième millénaires avant notre ère. En fa it, il est apparu sous l' impulsion de grands mathématiciens et philosophes de l ' Antiquité grecque, spécialement, comme c'est souvent le cas en géomé- trie de base, dans les Éléments d 'Eu- clide (voit l'encadré). C e li v res rassemblent toutes les connaissances géométriques et numériques connues à l'époque de leur rédaction ; ils présen- tent les bases de la géométrie de manière déductive, en partant de définitions et d 'ax iomes. Ce modè le a ensuite été adopté par tous les mathématiciens et sera à la base de l'enseignement mathé- matique pendant plus de vingt siècles. Tangente Hors-série n°53. Les angles les angles mlxtlllgnes Examinons comment Euclide pré ente la notion d'angle, en nous restreignant au cas du plan, puis à ce qu ' il expose à propos d'angles qualifiés de mixtilignes. Comme les Éléments ont fa it l'objet de multiples traductions (en arabe, latin , anglais, français ... ), avec éventuelle- ment l'ajout de Commentaires donnés par des historiens, dont Proclus, il faut pré- ciser de quelle version on parle. IJ s'agira ici des Éléments d'Euclide, volume 1, Introduction générale par Maurice Caveing, Livres 1 - IV : Géométrie plane (traduction et commentaires par Ber- nard Vitrac , Presses uni versitaires de France, 1990). Attardons-nous en premier lieu sur le tout début de la géométrie plane. Panant de rien, Euclide commence, dans son Livre 1, par définir plusieurs concepts fon- damentaux. Voici, dans leur version ori- ginale (y compris en ce qui concerne la numérotation), les premières définitions: ll'CLl'D I - AIGAIEA ~ ...,. ... 1. Un point est ce dont il n'y a aucune partie. 2. Une ligne est une longueur sans lar- geur. 3. Les limites d'une ligne sont des points. Euclide paraît peut-être assez « vague » au niveau de ces premières définitions, mai on peut supposer qu'i l voulait prendre ce point de départ avec un mini- mum de connaissances, et notamment en ne se référant pas explicitement à des objets issus du monde sensible. Pour lui, une ligne dé igne une droite ou une courbe, ou bien encore une portion de celles-ci. Mais il considère dans son œuvre principalement deux types de lignes, à savoir la ligne droite et la cir- conférence ; en effet, il se préoccupera surtout de problèmes qui peuvent être réso- uploads/Geographie/ bibliothe-que-tangente-hs-53-collectif-les-angles-sous-tous-les-angles-deux-mille-ans-de-geometrie-pole-2015.pdf