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Cours de Géodésie Chapitre 3 REPRESENTATIONS PLANES Version 2.1 20/10/2002 Didi

Cours de Géodésie Chapitre 3 REPRESENTATIONS PLANES Version 2.1 20/10/2002 Didier BOUTELOUP Cellule pédagogique et de recherche en astro-géodésie Didier.bouteloup@ensg.ign.fr (33) 01 64 15 31 37 CHAPITRE III : REPRESENTATIONS PLANES Didier BOUTELOUP / CPRAG / 2002 III-1 CHAPITRE III REPRÉSENTATIONS PLANES 1 Bref historique de la cartographie__________________________________________ 3 1.1 Introduction _______________________________________________________________ 3 1.2 La période grecque__________________________________________________________ 3 1.3 La période romaine _________________________________________________________ 4 1.4 Les temps modernes_________________________________________________________ 5 2 Représentation d'une surface sur une autre __________________________________ 9 2.1 Définitions générales ________________________________________________________ 9 2.2 Altérations________________________________________________________________ 10 2.2.a Notion d'applicabilité entre deux surfaces___________________________________________ 10 2.2.b Module et altération linéaires ____________________________________________________ 10 2.2.c Altération angulaire ____________________________________________________________ 11 2.2.d Module aérolaire ______________________________________________________________ 11 2.3 Indicatrice de Tissot________________________________________________________ 11 2.3.a Directions principales de la représentation; modules linéaires principaux __________________ 11 2.3.b Indicatrice de Tissot____________________________________________________________ 11 2.3.c Calculs des modules linéaire et aérolaire____________________________________________ 13 2.4 Conformité et équivalence___________________________________________________ 14 2.4.a Représentation conforme________________________________________________________ 14 2.4.b Représentation équivalente ______________________________________________________ 15 2.4.c Surfaces applicables ___________________________________________________________ 15 3 Classification des représentations _________________________________________ 16 3.1 Typologie selon les déformations _____________________________________________ 16 3.2 Classification selon le canevas________________________________________________ 16 3.3 Classification selon l'aspect __________________________________________________ 18 3.4 Exemples _________________________________________________________________ 19 4 Étude de représentations conformes particulières ____________________________ 21 4.1 Conditions de Cauchy ______________________________________________________ 21 4.2 Représentation conforme de Mercator directe __________________________________ 22 4.2.a Construction mathématique______________________________________________________ 22 4.2.b Étude du module linéaire________________________________________________________ 24 4.3 Représentation conique conforme de Lambert __________________________________ 28 4.3.a Construction mathématique______________________________________________________ 28 4.3.b Étude du module linéaire________________________________________________________ 30 4.3.c Formulaire ___________________________________________________________________ 34 4.3.d Représentations de Lambert en usage en France métropolitaine__________________________ 36 4.4 Représentation stéréographique polaire _______________________________________ 41 4.4.a Construction mathématique______________________________________________________ 41 4.4.b Etude du module linéaire________________________________________________________ 42 4.4.c Formulaire ___________________________________________________________________ 42 4.5 Représentation transverse de Mercator________________________________________ 44 4.5.a Coordonnées de Cassini-Soldner de la sphère________________________________________ 44 4.5.b Représentation transverse de Mercator de la sphère ___________________________________ 46 4.5.c Représentation conforme de l'ellipsoïde sur la sphère__________________________________ 48 CHAPITRE III : REPRESENTATIONS PLANES Didier BOUTELOUP / CPRAG / 2002 III-2 4.5.d Représentation de Gauss-Laborde _________________________________________________ 51 4.5.e Définition des représentations UTM _______________________________________________ 52 4.5.f Mise en oeuvre des représentations UTM ___________________________________________ 54 4.5.g UTM : Définition initiale de US Army _____________________________________________ 56 CHAPITRE III : REPRESENTATIONS PLANES Didier BOUTELOUP / CPRAG / 2002 III-3 CHAPITRE III REPRÉSENTATIONS PLANES 1 Bref historique de la cartographie 1.1 Introduction Dès une époque très reculée les hommes sentent le besoin de connaître les pays qu’ils habitent et qu’ils parcourent. Ils commencent par s’informer des distances, de la direction des itinéraires, du nom des lieux les plus remarquables. En regroupant ces renseignements, ils font naître la géographie. Celle ci est d’abord descriptive et utilitaire, c’est à dire constituée par des recueils de notions écrites sur les pays visités, accompagnées de dessins approximatif ; elle devient mathématique, lorsqu’ on imagine , pour relier et orienter les objets situés sur ces dessin, de les rapporter à des lignes déterminées par rapports aux observations de la voute céleste. Extrait de : Historique de la cartographie , G. ALINHAC, publication ENSG. 1.2 La période grecque Homère (IXème siècle avant J.C.) à travers ses récits de l’Iliade et de l’Odyssée est considéré comme le précurseur de la géographie. Thalès de Milet (640-548 avant J.C.) contribua au développement la géographie mathématique. Eratosthène (275-194 avant J.C.) améliorant les premières ébauches de cartes tracées par ses prédécesseurs, on lui doit outre la première estimation du rayon terrestre, une carte ou figurent les méridiens et parallèles passant par les lieux les plus connus. Les méridiens et parallèles sont représentés par des droites concourantes se coupant à angle droit, cette représentation du monde est connu sous le nom de projection plate carrée. CHAPITRE III : REPRESENTATIONS PLANES Didier BOUTELOUP / CPRAG / 2002 III-4 Fig. 1 : carte d'Eratosthène III av. J.C. 1.3 La période romaine Ptolémée (90-168) géomètre, astronome et géographe était un grec d’Alexandrie, il publia deux ouvrages fondamentaux « l’almageste » recueil de cosmographie et d’astronomie ainsi qu’un « Guide géographique » en huit volumes comportant le relevé des coordonnées géographiques de plus de 8000 lieux. Il développe la projection dite Homéotère où les parallèles sont représentés par des cercles concentriques et les méridiens par des courbes tracées points par points. Fig. 2 : tableau d'assemblage des cartes de Ptolémée CHAPITRE III : REPRESENTATIONS PLANES Didier BOUTELOUP / CPRAG / 2002 III-5 Fig. 3 : carte du monde de Ptolémée 1.4 Les temps modernes Le moyen age mis fin à la période romaine, pendant cette période obscure Al Edrisi (1099-1164) géographe arabe compléta l’œuvre de Ptolémée sur les routes empruntées par les commerçants arabes. L’invention de la boussole et le développement de la navigation maritime conduisit à la fabrication de nombreux « Portulans » basés sur l’observation des directions des routes maritimes. Fig. 4 : portulan arabe 1600 CHAPITRE III : REPRESENTATIONS PLANES Didier BOUTELOUP / CPRAG / 2002 III-6 La représentation plane d’une vaste partie du monde minimisant les déformations posait cependant un problème aux cartographes. Une des solutions consista en la production de cartographie en fuseaux développées vers 1507 par Waldseemüller. Fig. 5 : carte en fuseau de Waldseemüller (1507) Sur les planisphère, les terres nouvellement découvertes restaient très déformées par la projection plate carré, il faudra attendre Mercator (1512-1594) pour voire apparaître la projection à latitudes croissantes qui a gardé son nom. Outre ce système de projection on lui doit un recueil de 107 cartes gravées auquel il donna le nom d’Atlas proposant ainsi comme patron aux cartographes modernes, le géant légendaire qui portait le monde sur ses épaules. Fig. 6 : Mappemonde de Mercator (1595) CHAPITRE III : REPRESENTATIONS PLANES Didier BOUTELOUP / CPRAG / 2002 III-7 La cartographie de l’Europe au XVIIIeme siècle a ses grands traits de géographie physique à peu près arrêtés, des observations astronomiques ont fixé les contours des royaumes, il faudra attendre l’invention de l’horloge pour cependant connaître avec précision les longitudes astronomiques. Dans le domaine des projections, tous les types de canevas ont été essayés et construits géométriquement, les perfectionnements dont les artisans sont Lambert(1728-1777), Bonne(1727-1794) et Gauss(1777-1855), interviendront surtout dans leur définition analytique qui permettra la réalisation rigoureuse des propriétés de conformité et d’équivalence. Fig. 7 : carte de La Hire (1682) Les travaux géodésiques de triangulation générale de la France depuis la méridienne de Picard (1669-1671), reprise ensuite dans la triangulation de Cassini (1733-1740), permirent la réalisation de cartes topographiques précises au 1:86400 couvrant le territoire national (carte de Cassini). CHAPITRE III : REPRESENTATIONS PLANES Didier BOUTELOUP / CPRAG / 2002 III-8 Fig. 8 : carte de Cassini (1756) CHAPITRE III : REPRESENTATIONS PLANES Didier BOUTELOUP / CPRAG / 2002 III-9 2 Représentation d'une surface sur une autre 2.1 Définitions générales Soient deux surfaces régulières σ et Σ, on appelle représentation de σ sur Σ toute fonction F de σ vers Σ bijective, "presque partout" en tout cas: ( ) F m F m M σ     →Σ       → =   Si on se donne une nappe paramétrée de σ ( ) 1 1 , g D , 2 1 D ⊂R , et une nappe paramétrée de ( ) 2 2 , g D , 2 2 D ⊂R , alors la donnée de F équivaut à la donnée de F ∗: ( ) ( ) ( ) 1 2 , , , D D F u v F u v U V ∗ ∗     →       → =   , et aussi à la donnée des deux projections de F ∗: ( ) 1 1 , D F u v U ∗    →       →   R et ( ) 2 2 , D F u v V ∗    →       →   R , c'est à dire à la donnée de ( ) , U u v et de ( ) , V u v . Désormais, par abus de langage, nous confondrons F et F ∗. Dans la suite du chapitre, nous limiterons l'étude aux cas de fonctions F continue et différentiable en tout point de définition, telles que leur réciproque 1 F − soit elle aussi continue et différentiable en tout point et telles que le jacobien de F F J admette deux valeurs propres non nulles. Appelons m un point σ et ( ) M F m = ; m et M sont appelés points correspondants. Soient 1 γ et 2 γ deux courbes tracées sur σ passant par m et 1 t ! " (respectivement 2 t !" ) le vecteur unitaire tangent à 1 γ (resp. 2 γ ) en m, et notons 1 T ! " (resp. 2 T !! " ) le vecteur unitaire tangent à ( ) 1 1 F γ Γ = - resp. ( ) 2 2 F γ Γ = - en M sur Σ. 1 t et 1 T (resp. 2 t et 2 T ) sont appelés directions correspondantes. CHAPITRE uploads/Geographie/ geodesie-didier-bouteloup-chap3.pdf