Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

REIEC Año 6 Nro. 1 1 pp. 1-7 Recepción:29-05-2011 Aceptación:30-06-2011 REVISTA

REIEC Año 6 Nro. 1 1 pp. 1-7 Recepción:29-05-2011 Aceptación:30-06-2011 REVISTA ELECTRÓNICA DE INVESTIGACIÓN EN EDUCACIÓN EN CIENCIAS ISSN 1850-6666 Géométrie, graphiques, fonctions au collège1 Régine Douady regine@douady.net Résumé : L'apprentissage des mathématiques s'inscrit sur le long terme et en général dans une structure institutionnelle : l'école. L'apprenant construit sa connaissance au fil des années, dans un rapport interactif avec ses enseignants, les autres élèves de sa classe et toutes les autres sources que la vie sociale met à sa disposition. Dans le texte ci-dessous, nous présentons un ensemble de problèmes dont l'enjeu mathématique est la notion d'approximation traitée à un moment de la scolarité : élèves de 12-15 ans, de façon contextualisée. Ce n'est qu'une approche, la question du calcul d'erreur n'est pas abordée. Nombres et mesures y sont impliqués dans différents cadres en interaction : numérique, géométrique, fonctionnel, graphique. Nous y expliquons nos choix didactiques et les raisons des choix de l'ingénierie proposée. La référence est la dialectique outil/objet et jeux de cadres. Elle nous offre une grille pour élaborer les séquences de classe et aussi pour repérer et analyser les relations entre l'enseignant et les élèves : qui est responsable de quoi, qui fait quoi. L'enseignant a des marges de manœuvre pour organiser et conduire son enseignement, il a des attentes concernant les élèves. Nous y faisons référence. Mots clés: cadre (géométrique, numérique,…, interaction entre, changement de, jeux de), dialectique outil-objet, ingénierie didactique, méthode, outil (implicite, explicite), problème (sens de, résolution de), variable, variations (étude de). Geometría, gráficas, funciones en la escuela Resumen: El aprendizaje de las matemáticas se inscribe en el largo plazo y en generan en una estructura institucional: la escuela. El aprendiz, construye su conocimiento a lo largo de los años, en una relación interactiva con sus profesores, los otros alumnos de su clase y todas las otras fuentes que la vida social pone a su disposición. En el texto que sigue presentamos un conjunto de problemas donde la apuesta matemática es la noción de aproximación tratada en un momento de la escolaridad: alumnos de 12-15 años, de manera contextualizada. No es sino una aproximación, la cuestión del cálculo de errores no es abordada. Números y medidas están allí implicados en los diferentes marcos en interacción: numérico, geométrico, funcional, gráfico. Nosotros explicamos allí nuestras elecciones didácticas y razones de las elecciones de la ingeniería propuesta. La referencia es la dialéctica instrumento-objeto y el juego de marcos. Ella nos ofrece una grilla para elaborar las secuencias de clase y también para informar y analizar las relaciones entre el profesor y los alumnos. Quien es responsable de qué, quién hace qué. El profesor tiene márgenes de maniobra para organizar y conducir su enseñanza, él tiene sus expectativas concernientes a los alumnos. Nosotros hacemos allí referencia. Palabras Claves: marco (geométrico, numérico,…, interacción entre, cambio de, juego de), dialéctica instrumento-objeto, ingeniería didáctica, método, instrumento (implícito, explicito), problema (sentido de, resolución de), variable, variaciones (estudio de). Geometry, graphs, functions at school Abstract Mathematical learning is a long term process that occurs, usually, in an institutional structure: the school. The student builds his knowledge over the years, in an interactive relationship with his teachers, other students in his class and all the other sources that social life makes available. In this text, we present a set of problems where the mathematical subject is the notion of approximation. It is treated at a time of the syllabus: 12-15-year-old students, in a contextualized way. It is only an approach; the question of the error calculation is not addressed. Numbers and measures are there involved in the different frameworks in interaction: numerical, geometric, functional, and graphic. There, we explain our didactic choices and the reasons for the election of the engineering proposed. The reference is the tool-object dialectic and the frameworks interplay. It offers us a table to elaborate the sequences of class, and also to report and analyze the relations between teacher and students: who is responsible for what, who does what. The teacher has leeway to organize and lead his teaching; he has his expectations concerning students. We make reference here. Keywords: Framework (geometric, numerical, ..., interaction between, change of, play of), tool-object dialectic, didactic engineering, method, tool (implicit, explicit), problem (meaning, resolution of), variable, variations (study of). 1 Texto adaptado por Régine Douady de otro ya publicado en el libro Geometrías Kleinianas de Maria Judith Alderete, editado por Universidad Nacional de Cuyo – Mendoza. ISBN 978-987- 575- 075- 3. Mendoza. Argentina, 2008. REIEC Año 6 Nro. 1 2 pp. 1-7 Recepción:29-05-2011 Aceptación:30-06-2011 1. Préambule Pour développer en mathématiques une connaissance personnelle structurée, active et dynamique, on a besoin au cours de son apprentissage de pouvoir poser des questions, à soi-même et aux autres (enseignants ou autres élèves). Le questionnement provient en général du rapprochement, de la confrontation avec des situations rencontrées auparavant qui ont des ressemblances partielles mais aussi des différences qu'il est nécessaire de comprendre et expliquer. Dans cette perspective, il est très intéressant que l'enseignant propose à ses élèves des situations problématiques où plusieurs cadres mathématiques sont concernés. La résolution, impossible complètement dans le cadre de l'énoncé, passe par un transfert des énoncés d'un cadre à l'autre, autant que possible sous la responsabilité des élèves. L'intérêt pour eux est de mettre en œuvre un début de recherche qui s'appuie sur des pratiques familières (dessins, calculs, observations…). Ce premier travail peut les amener à remplacer le problème posé par un autre plus simple et qui a les mêmes solutions. Nous marquons là une préoccupation très importante : chercher à réduire la complexité d'un problème. Et cela peut faire l'objet d'un apprentissage. Il s'agit souvent de repérer et faire jouer des propriétés de la situation. Les transferts d'énoncés et de résultats partiels d'un cadre à un autre cadre facilitent cela. A chaque étape, des éléments connus (théorèmes ou méthodes) sont utilisés, puis par transfert inverse, des questions se posent et l'on obtient en les résolvant des résultats nouveaux. Ainsi, le travail dans chacun d'eux est une source d'interrogations et un outil de contrôle du travail dans chacun des cadres sollicités, chacun ayant ses modes propres de fonctionnement. Les interactions entre cadres doivent fournir des résultats cohérents. Un tel mode de travail est une éducation à la souplesse de pensée indispensable, dans tout apprentissage, à la recherche de cohérences d'autant plus fructueux et efficace qu'il y a familiarité avec ce mode. C'est un gage de sa qualité et de sa pertinence pour les apprentissages ultérieurs. On n'a jamais fini d'apprendre. 2. Introduction aux problèmes 2.1 Intérêt des changements de cadres Les problèmes qui suivent s'inscrivent dans la perspective de travail indiquée ci-dessus. Ils s'adressent à des élèves de 12-15 ans (collège) et nécessitent des connaissances de l'école primaire : rectangles, leurs deux dimensions, périmètre et aire. La nouveauté et la difficulté viennent du fait qu'on veut étudier les variations de certaines mesures en fonction d'autres. Autrement dit, on veut introduire un point de vue fonctionnel dans une situation particulière, sans attendre que les fonctions soient abordées comme objet mathématique. Les raisonnements et les modes de validation sont différents selon le cadre où l'on étudie ces variations. Par exemple, si une variable ne prend que des valeurs entières, on peut faire une étude complète pour chaque valeur entre deux valeurs données de la variable. Ce n'est pas le cas si ces valeurs sont des mesures de longueurs : entre 2 longueurs différentes, on peut toujours en intercaler une troisième, si petite que soit la différence entre les longueurs données. 2.2 Une méthode Transférer un problème d'un cadre à un autre cadre est un moyen pour les élèves de prendre conscience des propriétés des notions mathématiques dans chacun d'eux et de la façon dont elles interviennent dans les raisonnements. C'est un moyen pour les enseignants de travailler avec les élèves la question de la cohérence des résultats obtenus par différentes voies. C'est un moyen de mettre l'accent sur la nécessité d'expliquer des résultats contradictoires et éventuellement de repérer des erreurs, En cherchant à en comprendre les raisons, les chances de les corriger durablement augmentent. Mais ce peut être aussi une contradiction entre ce qui est attendu et ce qui est observé qui doit être expliquée. La conséquence peut être de poser de nouvelles hypothèses et de réorienter la recherche. La capacité des élèves à réinvestir leur réflexion et leurs nouvelles connaissances dans des nouveaux problèmes augmente aussi. On peut penser qu'ils pourront unifier et généraliser des propriétés rencontrées dans plusieurs problèmes particuliers. Les représentations graphiques jouent un rôle très important dans cette étape. Elles permettent de regrouper et organiser des informations qui font sens pour les élèves, et en même temps elles sont un relais dans la démarche pour oublier le sens. Par exemple, les techniques algébriques ont leur mode de validation propre. Elles permettent de résoudre des problèmes non algébriques, mais qui ont reçu une modélisation algébrique. Leur efficacité est liée à l'oubli du sens des problèmes. Les interactions entre cadres sont une pratique courante en mathématiques, un moteur de la création uploads/Geographie/ geometrie-graphiques-fonctions-au-college1.pdf