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Les formes fractales dans la nature INTRODUCTION :.............................

Les formes fractales dans la nature INTRODUCTION :..................................................................................................................2 I. LA THÉORIE DES FRACTALES.................................................................................3 A. ORIGINE DE LA THÉORIE..................................................................................................3 1. Historique...................................................................................................................3 2. La côte de Grande-Bretagne......................................................................................3 B. UN OBJET FRACTAL, QU'EST-CE QUE C'EST?....................................................................4 1. Introduction................................................................................................................4 2. Les objets fractals.......................................................................................................4 3. Calcul de la dimension fractale..................................................................................5 4. Les méthodes de l'analyse fractale.............................................................................6 C. ET DANS LA RÉALITÉ ?....................................................................................................8 1. Universalité................................................................................................................8 2. Le rôle du hasard........................................................................................................8 3. La limite de l’invariance d’échelle.............................................................................9 II. LES FORMES FRACTALES EN GÉOLOGIE......................................................10 A. LES CÔTES ROCHEUSES..................................................................................................10 1. Le caractère fractal des côtes...................................................................................10 2. La dimension D.........................................................................................................10 3. Applications..............................................................................................................11 4. Comment une côte rocheuse acquiert-elle un caractère fractal ?...........................11 B. MONTAGNES..................................................................................................................11 C. NUAGES.........................................................................................................................12 D. OXYDE DE MANGANÈSE................................................................................................12 E. RÉSEAUX FLUVIAUX......................................................................................................13 III. LES FORMES FRACTALES DANS LE MONDE VIVANT................................14 A. CHEZ LES VÉGÉTAUX.....................................................................................................14 1. Le chou romanesco et le chou-fleur.........................................................................14 2. Les fougères..............................................................................................................15 3. L’origine des formes fractales végétales..................................................................15 4. Les L-systèmes..........................................................................................................15 B. LES FRACTALES DANS LES POUMONS............................................................................16 1. Introduction..............................................................................................................16 2. Quelques généralités................................................................................................16 3. La configuration des poumons.................................................................................16 C. COQUILLAGE ET TRIANGLE DE SIERPENSKI...................................................................18 CONCLUSION :.....................................................................................................................19 ANNEXES :.............................................................................................................................20 Bibliographie :..........................................................................................................................22 1 / 22 Les formes fractales dans la nature Introduction : Quels points communs y a-t-il entre un arbre, des nuages, une côte rocheuse, nos poumons, et encore bien d’autres objets de la nature ? Jusque dans les années 1970 personne ne soupçonnait qu’une universalité puisse exister entre toutes ces formes de la nature. Les scientifiques se limitaient à la géométrie euclidienne pour les étudier. Cependant, grâce à la découverte par B. Mandelbrot de la théorie fractale qui étudie les objets complexes, une nouvelle description de ces formes naturelles a pu être établie, description parfois plus pertinente que celle donnée par la géométrie traditionnelle. La géométrie fractale a donc montré les limites de la géométrie euclidienne pour décrire des objets complexes, elle a offert de nouvelles perspectives aux sciences et de nombreuses applications. Le terme « fractale » vient du latin « fractus » qui désigne un objet fracturé, de forme très irrégulière. C’est Mandelbrot qui a introduit ce terme pour désigner ces fameux objets mathématiques. L’adjectif fractal prend son pluriel en -als : « fractals », de la même façon que « banal » et les six autres exceptions du français auxquelles il vient s’ajouter. Le nom est au féminin, évitant toute ambiguïté. Mandelbrot a formalisé la théorie fractale et son vocabulaire, la théorie s’est vite avérée utile dans de nombreuses disciplines, notamment dans la compréhension de certains phénomènes naturels. En effet, les objets mathématiques purs de la théorie fractale ont des correspondances étonnantes avec certains phénomènes géologiques naturels ainsi qu’avec le monde vivant. Où trouve-t-on des formes fractales dans la nature et comment sont-elles apparues ? Les réponses à ces questions ont été le fruit de nombreuses recherches que nous tenterons de synthétiser. 2 / 22 Les formes fractales dans la nature I. La théorie des fractales A. Origine de la théorie 1. Historique De nombreuses notions mathématiques ont d’abord été considérées comme des « monstres mathématiques », avant d’être domestiquées, offrant alors de nouvelles perspectives et de nombreuses découvertes. Il en a été ainsi chez les pythagoriciens avec l’apparition des nombres irrationnels, à la Renaissance avec celle des nombres négatifs et des nombres complexes, et au XIXème siècle avec l’exigence de rigueur de plus en plus poussée qui remit en cause beaucoup d’énoncés admis jusque là sans démonstration. Les objets fractals, eux aussi, ont pendant longtemps été considérés comme des monstres, et le sont encore parfois aujourd’hui. De 1875 à 1925, l’idée se répandit que les mathématiciens comme Cantor, Peano, Von Koch, Hausdorff étaient faiseurs d’objets pathologiques : ils créaient des objets que la nature ne connaissait pas, remettant en question la géométrie euclidienne et les notions de fonction et de dimension. Un exemple de monstre est l’existence mathématique de courbes continues ayant de nombreux points sans dérivée. Ces monstres ne trouvèrent alors ni théorie ni application. 2. La côte de Grande-Bretagne En 1961, Lewis Fry Richardson s’intéresse à la mesure empirique de la côte de Grande-Bretagne : comment mesurer, avec une bonne précision, la longueur d’une côte comme celle de la Grande- Bretagne ? La méthode la plus approximative consiste à mesurer la distance entre les deux extrémités de la côte : cette approximation est sûrement inférieure à la distance réelle (qui tient compte de la complexité du relief). Richardson comprend que la meilleure méthode semble être de définir un étalon, par exemple une barre de 1 m de longueur, et de parcourir la côte en reportant bout à bout la barre et d’en compter le nombre d’occurrences d’un point à l’autre entre lesquels on veut estimer la longueur de la côte. Si on utilise une barre 10 fois plus petite, elle pourra pénétrer plus précisément dans les recoins dessinés par la côte, la longueur mesurée sera alors plus précise, donc plus longue. Si l’on utilise une barre de 1 micron, on pourra alors contourner jusqu’aux moindres grains de sable et la mesure en sera d’autant plus précise. Ainsi, plus l’étalon utilisé est petit, plus la longueur mesurée est précise et longue, un segment infiniment petit donnerait une distance infiniment grande. Lewis Fry Richardson établit ainsi que la longueur d’une côte en fonction d’un étalon de longueur n est proportionnelle à n. La valeur de l’exposant  dépend de la côte choisie. Aux yeux de Richardson,  était sans signification particulière. Dans les années 1970, c’est Benoît Mandelbrot, mathématicien français, qui donna un sens à  en le définissant comme D, la dimension fractale. Mandelbrot élabora la théorie fractale expliquant les monstres mathématiques des siècles précédents et ouvrant de nombreuses perspectives et applications. Cette dimension D permit entre autre de caractériser la complexité d’une côte ou de n’importe quel objet fractal, offrant un nouveau critère de comparaison plus pertinent que la longueur. La dimension fractale permettra de quantifier, de mesurer les formes, les géométries, mettant en valeur le caractère universel de ces formes. La théorie trouva ensuite de nombreuses applications (et en trouvera probablement encore) en géologie, en biologie, en physique, mais aussi en design, photographie et cinématographie. 3 / 22 Les formes fractales dans la nature B. Un objet fractal, qu'est-ce que c'est? 1. Introduction. Nous sommes tous habitués aux objets de la géométrie euclidienne: aux droites, aux rectangles, aux cubes...Ils nous permettent de décrire simplement ce que l'on trouve dans la nature. Ainsi, les troncs d'arbres sont approximativement des cylindres et les oranges des sphères. Mais, face à des objets plus complexes tels que les nuages, les côtes rocheuses, les feuilles, les reliefs, un flocon de neige, un chou-fleur, la géométrie euclidienne est inadéquate, on fait donc appel à la géométrie fractale. La géométrie fractale est donc un langage utile pour décrire les formes complexes, et permet la description de processus non linéaires. Dans un processus linéaire, on peut déduire un chiffre de ceux qui le précèdent. Lorsque ce n'est pas possible, on fait appel à la notion de hasard. Par exemple, la trajectoire d'un dé relève du hasard. En fait, elle résulte de causes imperceptibles amplifiées par le lancement du dé. Le résultat est un processus chaotique. La complexité des formes des objets naturels résulte généralement de processus simples, souvent récursifs. Ainsi c'est grâce à l'informatique que l'étude des fractales s'est développée. Exemples : L’ensemble de Cantor aléatoire L’ensemble de Cantor régulier A chaque étape, on enlève 1/3 de la bande noire au hasard. La figure obtenue au bout de la 6 ème étape est un ensemble invariant d'échelle, déterministe (cas où l'on enlève toujours le tiers du milieu) ou non ( si l'on enlève, comme ici le tiers au hasard). Très vite au cours des itérations les segments deviennent de plus en plus fins, aboutissant à la "Poussière de Cantor". 2. Les objets fractals a) Notion de dimension fractale et d'invariance d'échelle Dans la géométrie classique, une ligne est un objet à une dimension, une surface un objet à deux dimensions, un volume un objet à trois dimensions. Nous sommes donc habitués à des objets dont la dimension (D) est un nombre entier 1, 2 ou 3. Mais il n'est pas précisé quelle serait la dimension d'une série de points sur une ligne, une courbe irrégulière et plane, une surface pleine de convolutions. Dans ce but le terme de dimension fractale a été introduit par B. Mandelbrot en 1970. La dimension fractale est donc un nombre qui mesure le degré d'irrégularité ou de fragmentation d'un objet ou qui mesure la rugosité d'une surface. La dimension fractale est une fraction ou un nombre irrationnel (, 1.23, etc.) ou un entier (Peano). Une analogie permet de mieux comprendre ce concept : la composition d'une famille moyenne au Canada est de 2.2 enfants, quelle est la signification du 0.2 enfant ? Cette notion de dimension fractale s'applique aux objets invariants d'échelle : on y trouve des parties qui sont semblables à l'objet lui-même à une dilatation (agrandissement) près. Quand on change l'échelle d'observation d'un objet invariant d'échelle, on conserve les formes. 4 / 22 Les formes fractales dans la nature b) L'auto-similarité : exacte uploads/Geographie/ les-formes-fractales-dans-la-nature-dossier 1 .pdf